吴恩达机器学习课程笔记(英文授课) Lv.1 新手村（回归）

目录

1-1机器学习的相关名词

1-2 什么是机器学习？

 1.definition 定义 

2.主要的机器学习算法的分类

1-3有监督学习及常用算法

1.定义

2.两种数据类型补充：categorical data离散（分类型）数据与numerical data连续（数值型）数据 

3.有监督学习与回归问题、分类问题的关系

1-4无监督学习 

1.定义

2.无监督学习之聚类算法的现实应用

2-1第一个学习算法—线性回归算法 

1.  课程中符号的表示：

2.监督学习算法的工作过程以及线性回归模型的介绍（单变量）

2-2代价函数|平方误差函数|平方误差代价函数（取决于误差项的平方和） 

2-3代价函数​（一）简单了解代价函数原理

2-4代价函数​（二）深入理解 

 2-5 梯度下降 Gradient descent （同步更新参数）

2-6 梯度下降知识点总结

2-7线性回归的梯度下降（迭代算法）

3.矩阵与向量知识

1.矩阵和向量（Matrices and vectors）

2.加法与标量乘法

3.矩阵向量乘法

4.矩阵乘法

5.矩阵乘法的特征

6.矩阵的逆运算与转置(与实数运算区别)

4-1多元线性回归

4-2多元梯度下降法

4-3 多元梯度下降法演练——特征缩放

4-4多元梯度下降法Ⅱ---学习率

4-5 特征和多项式回归 （对单特征的分析？哪些适合来进行预测？）

4-6 正规方程（区别于迭代方法的直接解法）Normal equation 求代价函数最优参数θ 

4-7 正规方程在矩阵不可逆情况下的解决方法（进阶版 选学）很少发生

补充：5-6⭐矢量化实现线性回归。  使用向量化线性回归对比使用for循环完成的线性回归，更简洁。

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1-1机器学习的相关名词

database mining 数据挖掘

machine learning 

Grew out of work in AI:从人工智能发展出来的一个领域

New capability for computers :为计算开发的一项新功能

Examaples：

领域一：database mining 数据挖掘 

例子：web click data 网络点击数据 ，medical records 医疗记录 ，biology生物学-基因序列，engineering 工程学所有领域 

领域二：Applications can‘t  program by hand  无法手动编写的程序

例子：Autonomous helicopter 自动直升机飞行 （让计算机自己学习飞行），handwriting recognition 手写识别 ，Natural Language Processing（NLP）自然语言处理 和 Computer vision 计算机视觉 理解语言与图形的领域

领域三：self-customizing programs 私人定制程序

例子： Amazon ，Nexflix product recommendations   亚马逊和。。的商品推荐功能 （学习算法）不会为每个人定制一个程序，而是让机器自我学习，最后为客户量身定制推送

领域四：Understanding human learning 研究人脑的学习。

1-2 什么是机器学习？

 1.definition 定义 

并没有统一的定义，下面是一些大佬们的定义。

①1959 Arthur Samuel在没有明确设置程序的情况下，使计算机具有学习能力的领域.  讲了一个samue的跳棋案例 与机器对弈，学习输赢的布局 分析更易胜利的布局，机器比人更有耐心。

② 1998 Tom Mit'chell（好友） 计算机程序从经验E中学习， 解决某一任务T 并进行某一性能度量P，通过P测定在T上的表现是否因经验E而提高。

经验E:程序与自己下几万次跳棋

任务T：玩跳棋

性能度量P:与新对手玩跳棋赢得概率      

解释：计算机程序与人下棋博弈积累经验（E），目的是解决可以完成下棋任务（T）并取胜，评测与新对手下棋时获胜的概率（P）是否会因下棋次数的积累而提高获胜概率。

总结：有三个基本的要素，任务T、经验E和性能P。机器学习=通过积累经验E并进行改进后，机器在任务T上的性能度量p的性能有所提高=T–>(从E中学习)–>P（提高）

 2.课间问题：

Suppose（假设） your email program watches which email you do or do not mark as spam（垃圾邮件），and base on that learns how to better filter（过滤） spam  ,what is the  task T in this  setting （例子）？

A.自动分类邮件为垃圾邮件或不是垃圾邮件（T）目的：利用程序判断是否为垃圾邮件

B.观察你是否将邮件标记为垃圾邮件(E)自动学习并积累经验

C.正确归类邮件的比例（P）性能度量判断模型的准确率

2.主要的机器学习算法的分类

①supervised learning监督学习：我们教会计算机做某些事

②unsupervised learning 无监督学习：我们让计算机自己学习     （最常用的两种）

③其他算法：Reinforcement learning 强化学习 ，recommender systems 推荐系统

建议：知道如何高效的使用这些算法。

1-3有监督学习及常用算法

补充：监督学习与无监督学习【机器学习笔记】有监督学习和无监督学习_Liaojiajia-Blog-CSDN博客_有监督学习 

1.定义

        数据是提前做好分类的，都是适用于模型的数据，训练的样本同时包含特征和标签信息（目的）的，通过这些已有的训练样本去训练得到一个最优模型，对输出对实际值对比分析，实现预测或分类的目的，再利用这个模型去预测位置数据。 简单来说，就是有很多道练习题，每道练习题都给出了正确的答案，通过建立模型，将这些题目进行导入反复训练（训练集），然后用一部分题目检验这个模型的准确度（检验集），最后用一个准确率较高的模型来预测未知的题目。

有监督算法常见的有：线性回归算法、BP神经网络算法、决策树、支持向量机、KNN(最邻近节点算法)，利用这些算法来解决实际应用问题。

2.两种数据类型补充：categorical data离散（分类型）数据与numerical data连续（数值型）数据 

categorical[ˌkætəˈɡɔːrɪkl] data ：是指某一特征下的值的个数是可数的，比如性别0或1，而且一般情况下不同value之间的距离是无法衡量的，比如颜色{红，黄，蓝}, 可以用0.1.2（中间有无数小数）来进行表示。细分部分可以归纳到一类。

⭐补：Categorical特征常被称为离散特征、分类特征，数据类型通常是object（对象）类型（https://baijiahao.baidu.com/s?id=1618844359785256101&wfr=spider&for=pc详解），而我们的机器学习模型通常只能处理数值数据，所以需要对Categorical数据转换成Numeric特征，Categorical又有两类，一种是定序型变量（ordinal:序数，顺序的）如下面的成绩分为ABCD四个object类型数据，直接导入模型是不可以的，需要转化成数值型数据才可以（数据处理那一块），一种是定类型变量，血型之间没有大小之分，A\B\O\AB，可以归为一类，同样可以用数值型数据1234转换。

个人感觉两个都属于分类数据，一个是可排序型分类数据，一个是不可排序型分类数据。

numerical[nuːˈmerɪkl] data ：是指能无限细分的叫做连续型，比如长度，重量，温度等等 细分会对结果有影响，准确性。

3.有监督学习与回归问题、分类问题的关系

有监督学习 包含两种常见的监督学习问题：分类问题与回归问题，包含关系。  

1.判定：给算法一个数据集，每一个样本数据明确的告诉了正确答案（一个房源数据集，每一个房子都给出正确的价格）算法的目的就是给出更多的正确答案（T）房子估价或者是肿瘤的良性问题

2.举例：

这是一个监督学习算法的例子，因为每一个样本数据明确的告诉了正确答案，某一房源的大小、房价，而且也是一个回归问题，回归是指我们预测一个具体的数值输出，某一肿块的判断是良性还是恶性

①常见监督学习之回归问题——房价预测案例：因为价格是连续的，而非离散的，用离散来做会影响准确性。后期选择是用直线拟合数据还是用二次函数拟合数据，无论哪个模型都不会影响房子的实际卖价，影响的是预测价格。 

横轴：房间面积

众轴：价格（单因素）

回归问题（设法预测具有连续值的特征属性，可以看作回归问题）：Predict continiuous (这个案例的回归问题是预测连续的数值输出price，价格实际上是一个离散值（不带小数的那种），但通常是一个标量或者连续值)

②常见监督学习之分类问题——乳腺癌检测案例

Classification（设法预测一个离散值的输出，0123.....可以是两个、也可以是多个类型）：

众轴：是否为恶性肿瘤（可以是多分类）

横轴：肿块的大小（单因素，也可以是多个特征、属性）

      单个特征（肿瘤的大小）预测 （肿瘤的好坏）      多个特征（age、size）来预测  {svm支持向量机（可以处理无穷多个属性）}

课堂问题：学会对回归与分类的判断

你经营了一家公司，并且你想去通过算法来解决两个问题，判断是回归问题还是分类问题：

①你有很多identical（相同的）货物的inventory库存，你想预测接下来的三个月你能卖多少件（回归）因为将卖出的数量看作一个连续的值，

②你有许多的客户，你想写一个软件（software）来检查每一个客户的账户，判断这个账户是否被入侵或者破坏 （分类）离散值0/1

1-4无监督学习 

1.无监督学习：只给了一个数据集，没有给正确的答案 。让算法自己学习~找到其中的结构，并进行分簇

1.定义

训练样本的标记信息未知， 目标是通过对无标记训练样本的学习来揭示数据的内在性质及规律，为进一步的数据分析提供基础，此类学习任务中研究最多、应用最广的是"聚类" (clustering)，聚类目的在于把相似的东西聚在一起，主要通过计算样本间和群体间距离得到。深度学习和PCA（主成分分析技术）都属于无监督学习的范畴。

算法：clustering algorithms聚类算法 （其中主要的一种）

案例①Goole news： 每天收集上万个新闻，自动的分簇、然后将他们组成到一个个新闻专题中，同一族的就会被显示到一起。

       ②基因组序列检测：给定一组不同的个体，对于每个个体，检测他们是否拥有某个特定的基因（特定基因的表达程度），红绿黄表达了拥有某些特定基因的程度，然后运用聚类算法把不同的个体归入不同的类或者不同类型的人。（只是告诉算法这有一堆数据，我不知道这些数据是什么、不知道谁是什么类型、也不知道有哪些类型，让算法自动找出这些数据的结构，让算法自动的按照得到的类型将这这些个体分成簇）

2.无监督学习之聚类算法的现实应用

Organize computer clusters 组织大型计算机集群	找到哪些机器趋向于协同工作，将这些数据放在一起就可以让计算机更让高效的工作
social network analysis社交网络的分析	若知道emile最频繁联系的人、或者微信好友、一些圈子的好友，可以自动判别同属于一个圈子的好友、判断哪些人互相认识
Market segmentation市场细分	公司拥有大量的客户数据库，根据客户数据集可以自动找出不同的市场分割，并自动将客户分到不同的细分市场，从而可以精确的在不同的细分市场销售（我们只有客户数据，并不知道有哪些细分市场，也无法知道谁属于细分市场之一，让算法自己去发现）
Astronomical  data analysis 天文数据分析

                                         

ng推荐语言：Octive，来建立学习算法原型，然后迁移到其他语言编译环境， 会更有效率，现在主流的语言还是python。

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2-1第一个学习算法—线性回归算法 

1.  课程中符号的表示：

监督学习里有一个数据集，也叫训练集，从这个训练集中进行学习做一件事情。                                  

                                  m：训练样本的数量 

                                   x：输入变量（特征） 

                                   y：输出变量（ 要预测的目标特征）

                               （x，y）：一个训练样本

                                 ：表示某一个样本，第i个训练样本

                                 ：上标表示第几个样本数据，下标表示第几个特征

                              ：假设函数

                                 θ0、θ1：模型参数 

                          ：代价函数

                                ：线性回归的目标函数

     

                                                                       

2.监督学习算法的工作过程以及线性回归模型的介绍（单变量）

1.学习算法的工作过程：将训练集数据导入一个学习算法，输出（确定）一个函数h（假设函数）hypothesis，作用是将房子的大小作为输入变量x，它会对应输出房子的预测值y， 假设函数 h是引导从x得到y的一个函数。

2.学习算法的设计：当我们设计一个学习算法时，要知道怎么表示这个假设函数h。如表示的是下面的一个预测y关于x的线性函数（学习基础）然去学非线性函数，这个模型也叫线性回归模型（一元线性回归）中的单变量线性回归。

下面介绍如何动手实现这个模型

2-2代价函数|平方误差函数|平方误差代价函数（取决于误差项的平方和） 

1.代价函数的作用：不同的参数，假设函数模型也不同。弄清楚确定最有可能的直线与我们的数据相拟合（优化目标）调试参数得到最有可能的直线与我们的数据相拟合  ，确定最优的模型参数θ0、θ1的值，减少预测值与真实值之间的误差·。

2.举例说明代价函数的功能

x：表示卖出的哪个房子

y：表示房子的实际价格 

hθ（x）：预测值，输入x时我们预测的房价值，最接近该样本对应的y值时得参数θ0、θ1

目的：在训练集中给出训练集中的x值，我们可以合理的预测y的值

3.总结:在线性回归中我们要解决的是一个最小化的问题（minnimization）（为什么要这两个参数最小？因为代价函数j（θ0，θ1）最小时模型参数最小，假设函数h（x）也是最小的，预测值与真实值的差异最小）。  

4.选择平方误差作为代价函数目的：h（x）和y之间的差异要小，预测值更无线接近真实值。要做的一件事是最小化假设输出与房子真实价格之间的平方差，因为平方差更能反应真实的误差。有m条数据，所以要对每一条样本误差累计求和取平均误差的最小值时候的参数。平方误差代价函数是解决（线性）回归问题最常用的手段。

 涉及知识：最小二乘法 

4.代价函数（Cost Function）的数学定义：用于衡量一个假设函数的损失（预测值与真实值之间的误差），损失越小说明假设函数越适用，也叫平方和误差函数。

核心公式如下： 2分之1就是为了（后面求导）好计算一些，因为常数对求导不造成影响，结果值都是一样的，而且主要是在一组参数中选一个代价函数最小的，大家同除2，对结果没有影响，最小的参数还是最小。

优化目标函数   其中 

⭐解释：求样本的每一条数据的假设值与真实值之差的平方求和，除以两倍的样本数量。若总体的真实值与总体的假设值差别巨大，会造成代价函数  的值较大（因为输入值都是固定的，变的是θ0，θ1两个参数），所以我们的目标为，求使得  取最小值（总体真实值与假设值差别最小）时候的  和  ，而不是让假设函数最小时的，总体代价函数小，假设函数输出值与真实值的误差也小，假设函数最小的参数，整体不一定最小。因为，在x固定的情况下，参数越小假设函数越小，但是代价函数不一定是小的，因为（是平方差，h（x）小与y之间的平方项反之变大了）

参考：吴恩达机器学习（一）单变量线性回归（假设函数、代价函数、梯度下降）_今天你学习了吗-CSDN博客

下一课详细学习代价函数的原理、计算目的、使用目的、为何使用

2-3代价函数（一）简单了解代价函数原理

1.简化的代价函数

        为了更好的使得代价函数可视化，更好的理解代价函数的概念，我们使用一个简化的假设函数，使它仅包含参数，令如右图所示。假设函数就变为（是关于x的函数），优化目标就是尽量减少（是关于的函数，控制直线的斜率）的值。图形表示为经过原点的假设函数。

2.绘制假设函数与代价函数关于各自变量的图形

简化算法： 假设参数为0（可以是负数），简单推导 为何选择参数最小时的代价函数。

训练集中有三个数据：（x（输入的特征值），y（真实值））：（1，1），（2，2），（3，3）

目的：找一条拟合度最优的线，通过改变的值，得到不同的代价函数值，然后找到最小值时的参数。

过程：要弄清当参数θ变化时，代价函数的变化      

计算 公式 

①假设等于1时------->斜率为1的直线，因为选的点都是特殊点，当等于1时候正好经过这些点，那么此时的代价函数的值为0。观察预测值（假设函数h（x）的值）与真实值的拟合度然后求代价函数的值，描绘代价函数依据参数变化的图形，如右图所示。

②假设等于0.5------->斜率为0.5的直线，=  0.58

③假设等于0------->斜率为0的直线，2.63

④同理当参数为负数时候

 。。。。。

 ⑤画出最后大致图像如下：分析的出在令值最小时候的参数，与真实值的拟合程度是最高的。 

3.总结：学习算法的优化目标是我们选择参数的值获得最小的，通过观察=1的时候代价函数最小，并且此时的假设函数是一条符合数据的直线，以上就是为什么要最小化代价函数。找到最能拟合数据的线。

回归原来公式，观察同时包含两个参数时候的图形。

2-4代价函数（二）深入理解 

1.与前一节不同点：保留全部参数，有两个参数

2.代价函数3D图形

代价函数的3D曲面图形（碗状），横轴为两个参数，代价函数的值随着这两个参数的变化而变化，曲面的高度也就是代价函数的值。

3.代价函数二维图形

为了更好的展现图形，同一高度的点、转化为2D图形，使用等高线图（contour plots） ， 轴为两个参数， 每一个椭圆形表示相等的点，每个都对应着一个假设函数

①如下图1点所对应的两个参数描绘的h（x）直线图形，并没有很好的拟合数据，因为代价值距离最小值还有很大的距离，因为拟合的不好，只有代价值最小时候，才是拟合最好的假设函数h（x）。

②如图2点所示：虽然不是最小值点，但是相当接近最小值，表明函数对数据拟合的还不错，但是还是存在着一定的平方误差。

4.总结：代价函数最小值的点对应着更好的假设函数。

学习目的：想要一个高效的算法或软件、来自动的寻找代价函数J的最小值， 以及对应的两个参数的值。而不是找一个绘图软件，手动读取参数。

后期还会遇到一些多参数的、更高维的，可视化图形很难描绘的，我们需要利用软件来自动寻找使代价函数最小的参数的算法

下一课内容：找到一种自动找到使函数J参数最小的算法。

 2-5 梯度下降 Gradient descent （同步更新参数）

1.功能：应用于机器学习的各个领域，可将代价函数J最小化的梯度下降法，不仅可以最小化代价函数，也可以最小化其他函数。

2.应用：优化线性回归中的代价函数

3.问题概述：我们有一个函数,也许是一个线性回归的代价函数，也许是一个需要最小化的其他函数，我们需要一个算法来最小化函数，也可以最小化其他函数。为了简化符号下面的视频只用两个参数。

4.梯度下降的思路outline：⭐

①开始给定θ0，θ1一个初始值，是什么并不重要，通常两者初始值都设置为0。

②接下来不停的一点点的改变θ0，θ1的值来使代价函数变小，直到找到最小值或者局部最小值

5.图形展现梯度下降法的工作过程：

如图1 ，我们想最小化这个函数，我们从θ0，θ1的某个值出发=从这个函数图形的某个点（参数为0点，也可以是其他点）出发 。是看作成两个小山，想尽快下山（到最低点）应该朝着哪个方向迈步（下降最快）？ 站在这一点，环顾四周找到一个最合适的下山方向迈步，到带你一个新的起点，然后重复该过程，直到收敛至局部最低点。

一个有趣的特点：当存在多个局部最优值时候，第一次选用不同的点开始梯度下降时，可能会找到另一个局部最优处。

问题：什么时候达到局部最优停止参数更新？？？

6.梯度下降算法的数学原理（定义）：重复做这一过程，直到收敛   同步更新θ0，θ1

①符号介绍：

θj：模型参数

：=: 赋值符号，a：=b表示将b的值赋值给a     a=b这里指的判断

α：学习率，用于控制梯度下降速度，迈出的步子（下降的速度，大小如何设置后期会讲）（更新参数的幅度）

 ：一个偏导数项（后期讨论与推导）

②数学定义

⭐7.公式解释：

①过程同时更新θ0与θ1，会更新θ0与θ1的值，，（两者同时进行），将更新后的参数值进一步带入更新，如图一。

②必须是同步更新，一个参数的变动，若不同时更新，计算另一个参数时候，是用更新过的θ值，而不是最初的值。 如图2，参数θ0更新后直接利用新的参数θ0去更新参数θ1，而非初始值θ0去计算导数项，是错误的，因为后面的代价函数是关于两个参数的方程式。

③为什么梯度下降要同步更新：同步更新是更自然的实现方法，谈到梯度下降就是同步更新，如果使用非同步跟新去实现算法，可能也会正确工作，但不是人们所指的那个梯度下降法，而是具有不同性值的其他算法。

下一课讲解：导数项  相关基础：微积分课程：偏导数与导数。  进一步了解如何使用梯度下降法

。

2-6 梯度下降知识点总结

1.学习内容：了解梯度下降算法的用途，更新过程的意义：这两部分的作用，为何将学习率与导数项放在一起整个更新过程才是有意义的。

2.梯度下降法的更新规则：不断根据公式更新参数的直到最小值（参数值最小处）（从函数的某个参数值点出发，开始梯度下降），可以从左边开始，也可以从右边。

                                                                             

3.举例说明，导数项的意义

最小化函数只有一个参数的代价函数，试着理解梯度下降法在这个函数上起什么作用。

①初始化参数选取在右边时：代价函数的一维曲线如下（并没有实际画出，只是大致轮廓，它在自动寻找最优参数）：其中导数项其实是代价函数的斜率。 如图有一个正斜率，也就是正导数，因此得到的新的参数，，学习率永远是正数，因此参数会变小，向左移动更接近那边的最低点。

②初始化参数选取在左边时：导数项是负斜率，然后更新参数，实际上参数大小增加了，向右移动

4.学习率 α

α的大小会有什么影响：

①学习率太小时：梯度下降的速度会变得很慢，一小步一小步的更新去接近最低点。

②学习率太大时：会出现过拟合现象，每次更新一大步，导致梯度下降可能会越过了最低点，无法收敛（好像是导数趋于0）甚至发散。 如下图所示：

③狡猾的问题：若初始的参数值设置在了局部最优点（导数为0），下一步的梯度下降会如何？

那么参数值将不会再改变。导数项始终为0，会使你的解始终保持在局部最优点。 

因此：即时学习速率保持不变，梯度下降法也会收敛到局部最低点的原因（导数项会逐渐变小，直到0达到局部最优点），再接近最优点时候，梯度下降法会自动采取更小的幅度。所以没必要另外再减少学习率，也不要太大。

⭐举例说明：首先初始化梯度下降参数，粉红点->绿色点，你会发现绿色点的斜率并没有粉红点处的斜率那么大，因为随着接近最低的点导数越来越接近0，然后再梯度下降一步到达红色点，更接近最低点了，此时的导数比在绿点更小。同时参数更新的幅度也会更小，随着下降移动的幅度会自动的变的越来越小，直到移动幅度非常小，此时已经收敛到局部最小值。

总结：梯度下降算法可以推广到最小化任何代价函数j

next：线性回归中的代价函数结合梯度下降算法，得到第一个机器学习算法：线性回归算法

2-7线性回归的梯度下降（迭代算法）

1.内容：梯度下降和代价函数的结合得到线性回归算法

2.目的：将线性回归得梯度下降算法用到最小平方差函数之中。①

导数项部分求导之后带入=》结合后得梯度下降算法。

3.导数项内容：求j等于0与j等于1时得偏导数-也就是分别求θ0与θ1得偏导数      这里需要补一补微积分求偏导得过程！自己推一推 

4.导数项求导过程：这里很清楚得可以看出：多除个2，是为了求导后可以约分

求积对θ0求导其余项看作常数，求导时结合了复合函数求导

 原理 ：一个一元复合函数求偏导（其余元素看作常数）

①对θ0求偏导：对外层平方求导后得2与2m得2抵消，里面对参数求导为1

②对θ2求偏导：对外层求导后得2与2m得2抵消，在对内层的求导后得到个

求出斜率（导数）之后，再带回梯度下降算法 不断更新迭代、直到代价函数达到最小 ③

④这里是线性回归的梯度下降法，也叫Batch（批量）梯度下降，。每一步梯度下降都遍历了整个训练集的样本，计算偏导数的时候，我们计算m个训练样本的总和，注意参数要同步更新，不断重复该过程直到收敛。还有其他的梯度下降，没有全拦整个训练集，每次只关注了小子集，后面会讲。

避免陷入局部最优（代价函数有多个最优解）‘

5.线性回归的代价函数图像：总是这样的弓状函数，也叫凸函数，没有局部最优，只有一个全局最优解。只要使用线性回归运用这种代价函数做梯度下降，总会收敛到全局最优。

6.算法的使用过程：

假设函数与代价函数如下，观察值的参数初始化，通常在0，0处初始化参数，更形象的解释梯度下降初始选为0_900,1_-0.1。假设函数会随着代价函数沿着最小值的轨迹变化，随着梯度逐渐下降，直到达到全局最小值。这时全局最小值对应得假设曲线很好得对应了拟合数据，利用拟合好的假设曲线就可以进行预测了。 过程如下：

  

            

 

7.总结：以上就是学习的第一个算法： 使用梯度下降的线性回归

补充：梯度下降适用于大数据集，并且在不同机器学习上都可以用。线代中得正规方程组方法也可以快速求最小值，不需要多次迭代。

next：介绍梯度下降的通用算法

3.矩阵与向量知识

1.矩阵和向量（Matrices and vectors）

内容：介绍矩阵与向量的概念 

1.矩阵的定义:由数字组成的矩形阵列，写在方括号内，也可以说是二维数组的另一种说法。矩阵的维数就是矩阵的行数*列数。矩阵可以让你快速整理索引和访问大量数据。

2.矩阵的项（元素）：矩阵的中的某一个元素，用行与列表示，常用大写字母表示。如下图

3.向量的定义：一个向量是一种只有一列的特殊的矩阵。

4.向量的下标表示：有时候会从1开始表示（矩阵、大部分数学表达中），一些编程语言种的数组是从1开始排序的，有些机器学习问题0下标向量为我们提供了一个更方便的符号表达。除非特别指定，默认使用1下标开始。一般用小写字母表示向量。

    

2.加法与标量乘法

学习内容：矩阵的加法与减法运算、乘法运算（标量乘法）

1.加（减）法运算：同纬度矩阵，对应相加（减）。

2.矩阵与标量(实数)的乘（除）法运算: 逐一相乘。

 3.矩阵向量乘法

1.目的：可以简化代码，通过计算机矩阵相乘的方式就可以算出计算值，比写for循环一个函数更简单

2.特列：矩阵与一个向量相乘，对应（行列）相乘再相加，M*NxN*K=M*K

  

3.实际应用：假设有四间房子，有四种大小，有一个假设函数可以预测房子的价格，可以利用矩阵相乘来预测房子的价格。利用矩阵就可以只写一行代码就完成整个过程。。特征矩阵与参数矩阵的相乘。当有1千个房子需要预测时，写一个for循环即可

4.矩阵乘法

1.目的：将两个矩阵相乘，在线性回归中，用于同时解决参数θ0与θ1的计算问题，而不需要梯度下降法这种迭代算法。矩阵与矩阵的运算是必须理解的关键步骤。

2.举例：矩阵相乘的原理。拆接成矩阵与向量预算，再拼接

3.计算矩阵C过程：要获得矩阵c的第i列，要用矩阵A和（矩阵B的第i(for i =1,2,3,,,o )列）相乘得到，竖着写！再拼接

4.矩阵与矩阵乘法简洁技巧：实际应用，假设预测四间房子的价格，有四个预测特征值、3个假设函数（看哪个更精确），想将这三个假设函数都用于这4个房屋，使用矩阵乘法，一次运算可以得到多种假设函数的预测值。矩阵构造如下：结果每一列就是对应假设函数的预测结果。

引用1向量与常数参数相乘。

5.总结：现在的编程语言基本上都带有优秀的线性代数库，来进行高效的矩阵间的乘法运算，可以快速的基于众多假设进行预测。

5.矩阵乘法的特征

1.用处：可以打包大量的运算，然后用一次矩阵的乘法运算。

2.特性

①标量乘法可交换性

②矩阵乘法不满足交换律：

③矩阵乘法满足结合律：

④单位矩阵满足交换律

6.矩阵的逆运算与转置(与实数运算区别)

1.逆矩阵的定义：前提是方阵，只有方阵才有逆矩阵一个矩阵A与其矩阵B相乘得到一个单位矩阵C，则矩阵B就是A的逆矩阵。  

2.求逆矩阵的方法：①根据所学知识手算 ②利用软件链接开源库即可或任何主流语言 求解逆矩阵 这里用到的是Octive

3.什么样的矩阵没有逆矩阵：不是方阵的矩阵，矩阵元素全为0，注意：行列式不为0才有逆矩阵    不存在逆矩阵的矩阵——奇异矩阵或退化矩阵，想成非常近似于0

4.矩阵的转置运算：取行变列，满足

next：构建线性回归、 多数据、多样本、多特征、、、、、、然后用学到的矩阵工具推导更多的算法

4-1多元线性回归

1.内容：讨论一种新的线性回归版本 ，这种形式适用于多个变量或多特征。

2.对比：

①之前版本，只有一个单一特征量房屋面积x来预测价格y，并有一个假设函数

②现在版本：不仅有房屋面积还有卧室数量、楼层数量、房子年龄等多特征用来预测价格的信息。

3.数据表示方式

n：特征值的数量，x1，x2，x3.。。

m：训练样本数

：第i个样本的输入特征值向量

：第i个训练样本中第j个特征值的值

xi：表示特征值变量

y^i：表示第i个样本数据的真是值

4.多特征变量时候假设函数的变化：

5.上面假设形式的简化：为了表示方便将x0的值设为1，具体而言，这意味着对于第i个样本，都有一个向量X^(i)，并且X^(i)_o总等于1，相当于我们额外定义了一个第0个特征量。因此新的特征向量X是一个从0开始标记的n+1维的向量。假设函数可以用下面内积的形式来表示。也叫多元线性回归。多元的意思就是多特征来预测y，

多特征向量下的假设函数：多元线回归Multivariate linear regression

多元假设函数是一个多元线性方程（组）可以写成向量的内积的形式（线代知识）   假设的函数就是线性的~     解方程组便会一次性得到多个预测值（然后找最接近的那个所对应的参数值最小）。假设函数的矩阵表示

将参数部分与特征值部分看作线性向量：每一个特征值都对应一个参数（表示两者的相关性：正数表示正相关，负数表示负相关）

4-2多元梯度下降法

1.学习内容：如何设定该假设函数的参数、并介绍如何使用梯度下降法来处理多元线性回归。

2.回归变量记号

①多元线性回归的假设形式：

②参数的表示：看作一个n+1维的参数向量， 

③代价函数： 依旧通过误差项的平方和来表示，但是又不把j看作这n+1个 数的函数，而是使用通用的方式把J 写成参数 向量的函数， 

 

④梯度下降：

一个特征与多个特征时的比较：前面没啥变化就是表示方式变了，多个特征值时 ，对应的参数也就变多，也就多加了几次参数的更新。 

4-3 多元梯度下降法演练——特征缩放

1.学习内容：梯度下降运算中的实用技巧——特征缩放的方法，到一个较小的范围，类似于归一化。 

2.目的⭐：若有一个机器学习的问题，有多个特征，若能确保这些特征（不同的特征值之间）都处在一个相近的范围，那么梯度下降法就可以更快的收敛，更快的找到最小值。

由狭窄细长的椭圆——》圆

3.举例：有两个特征变量。X1为房屋的规格（0-2000），X2为卧室的数量（1-5） 确保不同的特征取值都在相近的范围内，梯度下降法就可以快速的收敛，若画出代价函数的等值线，是一个关于参数的函数，但是这里先忽略参数0，假设只有变量参数1，2，（这里是两个特征变量，若是三个及以上该怎么画？），那么代价函数的等值线就会出现非常歪斜并且椭圆的形状（特征值大） ，原因：代价函数原理就是假设函数，特征值是固定的，由于参数1的特征值比较大，当减小参数1时，θ1*x1+θ2*x2 ，参数θ2必须大幅度增加，才可以让两个式子等值。当两个特征值的取值接近的时候，两个参数可以类似反比例函数，有规律的变化，因此呈现均匀的椭圆形。此时等值线之间的距离比较均匀，到达最小值点的路程更短，运行梯度下降的速度更快。

4.特征缩放：将特征的取值约束到-1——+1（或者其他范围， 不能太大或太小，和这个接近就可以）的范围内，因为特征值x0总是等于1，因此已经在这个范围内了。对于其他的数则要通过除与不同的数来让他们处于同一范围内。

特征放缩的方法①：除以特征值的最大值

②均值归一化（常用）：无论哪种将特征值转化为相近似的范围即可，并不需要太精确，只是为了让梯度下降，运行的更快一些而已。收敛所需的迭代次数更少。

原理：xi用xi-ui来替换，让特征值具有为0的平均值。我们并不需要把这一步应用到x0中，因为它总是等于1，不可能有为0的平均值，对于其他特征而言，如房子的大小取值在0-2000，面积的平均值为1000，则可以用这个公式算出新的特征x1和x2，在某一范围中。

⭐更一般的规律：特征缩放  ，并不需要太精确，只是为了让梯度下降运行的更快些而已，收敛所需的迭代次数更少。

u_1是特征x_1的平均值、s_1是特征值的范围（max-min或者标准差）

next：介绍另一种方法来使梯度下降在实践中工作的更好。

 4-4多元梯度下降法Ⅱ---学习率

1.学习内容：集中讨论学习率、调试技巧确保梯度下降正常、如何选择学习率。

2.如何确保梯度下降算法是否正常收敛

①方法一绘图（ng常用）：

        在梯度下降算法运行时，绘出代价函数的值，这里x轴表示梯度下降算法的迭代次数，（注意之前的x轴表示的是参数），y轴表示随着梯度下降算法迭代次数的运行得到参数θ算出的代价函数的值，这个图表示的梯度下降的每步迭代后 代价函数的值，如果梯度下降算法正常的话，每步迭代之后代价函数都会下降，直到收敛无法下降。通过这个图像可以判断是否梯度下降算法是否收敛，还可以判断算法是否正常工作。

梯度下降逐渐收敛 表示是正常的（参数逐渐缩小到最小值，未发生跳跃）对于不同的问题，迭代的次数也是不同的，实际上我们很难提前判断需要迭代多少次数。

②自动的收敛测试：利用算法来判断梯度下降算法是否已经收敛。若是代价函数迭代之后的值小于一个很小的阈值，这个测试就判断函数已经收敛，但是要选择一个合理的阈值是非常困难的，所以更倾向于看曲线图。

3.几种图形表示问题以及原因：

①学习率过大时：代价函数不断上升，原因 在最小化代价函数的时候选用了较大的学习率，导致越过最小值。

解决方法：选一个小的学习率。

数学家已经证明只要学习率足够小，那么每次迭代之后代价函数值都会下降，若没有下降则可能是学习率过大。

②学习率过小时：太小会收敛很慢，太大会导致不收敛

4.学习率的选择：（尝试不同的学习率，间隔10倍取值，绘制代价函数迭代次数曲线，然后比较选择可以快速下降的学习率，(通常取0.01)

可以选择个最大的，再选个最小的，在此区间，按照倍数大致取值。

4-5 特征和多项式回归 （对单特征的分析？哪些适合来进行预测？）

1.学习内容：一些可供选择的特征、如何得到不同的学习算法、多项式回归-可以用线性回归的方法来拟合非常复杂的函数或者非线性函数，如何选择某一特征，自由选择特征。

2.举例子：以预测房价为例。假设有两个特征，房子的临街的宽度和垂直宽度。但是特征的选取不一定是现有的，也可以自 己创造特征，如：特征Area  决定房屋大小的特征Area可以是宽度与深度的乘积，这样就将两个特征值预测转化为一个特征值，通过定义新的特征可能会得到一个更好的模型。

3.多项式回归模型的选择

假如有这样的一个住房价格数据集，可能会有多个不同的假设函数模型用于拟合，直线不能很好的拟合这些数据，价格可能是一个二次函数所以会想到用下面的二次函数模型去拟合，但是后面价格可能会降下来，面积增大价格应该升高才对，所以二次函数也不太合适

因此我们会选择一个不同的多项式模型，选择一个三次函数？可能得到下面的拟合图像合适，后面不会随着价格而下降

4.如何将数据与模型进行拟合？

（单一特征变量）使用（n元）一次线性回归的方法，对之前的模型简单修改即可（这里特征放缩很重要），因为这里只有一个特征值（面积预测价格），所以x变量都是面积，只是从一元线性方程，变成了三次多项式。为了将两个定义对应起来，将x1特征设为房子的面积，特征x2设置为房屋面积的平方，第三个特征x3，设为房子面积的立方，然后再利用线性回归的方法，就可以拟合这个模型，将一个（n元）三次模型拟合到数据上。 

另一种多元函数选择：平方根函数图像如下，也不会下降回来。

5.总结：探讨了多项式回归，如何将一个多项式回归（二次或三次函数）拟合到数据上，而不是只用一条直线去拟合（线性回归）。学习了还可以自己选择使用哪些特征。

next：有多种特征又该如何做选择？一些算法自动的选择要使用什么特征，可以观察给出的数据选择使用一次函数、二次函数、还是其他函数

4-6 正规方程（区别于迭代方法的直接解法）Normal equation 求代价函数最优参数θ 

1.内容： 正规方程对于某些线性回归问题给我们更好的解决方法来求得参数θ,无需梯度下降迭代（方法1）求最小值，而是可以一次性求解参数的最优值。（只需一步）

2.举例子：最小化一个二次函数：对参数θ 求偏导数为0时的参数θ即可。

但是通常θ不是一个实数，而是一个n+1维的参数向量。代价函数通常是平方代价函数

3.如何最小化这个代价函数？

①：求偏导、遍历所有的偏微分（麻烦）多次求解：逐个对参数θ求导，求J的偏导数（因为x特征值是确定的），然后全部置为0时的θ1，θ2，θ3。。。。θn的值，就得到了最小化代价函数J的θ值（这里表示一组向量），微积分基础。

②实战：矩阵最小二乘法（一次求解）：这里的θ是参数向量，利用下面的方程即可得到最小值。

公式原理：线性回归_百度百科

假设有4个训练样本，在数据集中加上一列，对应额外特征变量的X-0，他的取值永远是1，接下来我要做的是构建一个矩阵X（m*n+1维矩阵），这个矩阵基本包含了训练样本的所有特征变量，y是一个m维的向量。 前提是矩阵可逆，一般都是可逆的， 这个等式怎么来的？（概率论与数理统计p253）

3.方程举例解释矩阵构造过程：m个样本，n个特征

上标表示第 几个样本数据，下标表示第几个特征（先看上再读下，简单些）

转化过程如下：

不需要知道怎么推导，了解是最佳求参公式即可，会给出最优的θ值。这里y是假设函数预测值

Octave代码 -----matlab计算命令代码也是类似的

总结：①对比梯度下降法（必须要进行特征缩放）、正规方程法可以不进行特征缩放

           ②何时使用梯度下降法？何时使用正规方程法？

两者最小化参数的优缺点 

1.梯度下降：

优点：在特征变量很多的情况下，也能运行的非常好。回归、分类算法都可以应用。

缺点：需要选择学习率，需要运行多次尝试不同的学习速率，才找到运行最好的那个。需要更多次的迭代，计算较慢。

2.正规方程：

优点：不需要选择学习率，只需要计算求逆的这一项，运行一次即可。也不需要迭代，不需要画出代价函数的曲线来检查收敛性。

缺点：特征变量的数量很大的话(n>10000)，计算这个量会很慢O（n^3），不适合一些分类算法，复杂算法。

3.总结：特征数量大的时候选择梯度下降  在处理特征数量少（<1w）的数据集时，正规方程法比较便利，但是正规方程法不适用一些复杂的学习算法、例如逻辑回归(分类算法)，不得不回归于梯度下降法，

但是对于线性（不一定是图像是直线才叫线性）回归这个特定的模型，正规方程法是比梯度下降法更快的替代算法。

4-7 正规方程在矩阵不可逆情况下的解决方法（进阶版 选学）很少发生

1.内容：正规方程及不可逆性，很少发生。

2.不可逆原因：

①存在互为线性相关的特征向量（多余 特征值一样） 导致X本身不可逆   

②特征数量多 数据集少 （m

3.检查：首先检查所有的特征，看特征中是否有一些多余的特征，互为线性函数，删除其中一个，将解决不可逆问题。

特征数量过多，删除一些不影响的特征，或者考虑正规化方法。

补充：5-6⭐矢量化实现线性回归。  使用向量化线性回归对比使用for循环完成的线性回归，更简洁。

调用内置函数哭来帮助我们做运算。

1.举例子：

①线性回归的假设函数的向量化计算：一种是计算j从0到n的乘积之和，另一种方法是用向量来表示假设函数，就可以写成计算两个向量的内积。从Xo写是为了方便计算，Xo的值为1对应参数0，

未向量化的编程（利用循环）                                                           

向量化的编写：，只需，这一行数值线性代数代码来计算两个向量的内积。

C++中：

②梯度下降法的向量化计算：

假设有两个特征量，n等于2，同步更新下面的参数。

非向量化代码的实现：用个for循环来进行更新

参数解释：压缩成一行的向量化代码：将看作一个向量（n+1维），然后更新向量为减去（实数）乘以某个向量（n+1维），因此组成了向量的减法运算。 

=前面是一个实数不动，后面的x是一个向量。（第i个样本输入的特征值向量）       

推导过程如下：就可以利用这个公式一次更新梯度下降的参数了。与上面的更新过程是等价的

2.总结： 使用两个以上的特征量，或在线性回归中使用几十个成千上百个特征，使用向量化实现线性回归时相比写for循环的代码更新参数时，运行的速度更快。无论是何种语言将会使你的代码更高效。