数字图像处理学习笔记4：图像增强之空间滤波2（一阶微分锐化滤波（梯度），二阶微分锐化（拉普拉斯），非锐化掩蔽）

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前言

锐化滤波的主要目的是突出灰度的过渡部分，比如图像中物体的边缘。

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一、一阶微分和二阶微分的定义

一阶微分：
（1）在恒定灰度值得区域一阶微分值为零；
（2）在灰度变化的台阶以及斜坡处一阶微分值非零；
（3）沿着斜坡的一阶微分值非零。
对一维函数，公式定义如下：
$$\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)，（1）$$

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二阶微分：
（1）在恒定灰度值得区域二阶微分值为零；
（2）在灰度变化的台阶以及斜坡处起点的二阶微分值非零；
（3）沿着斜坡的二阶微分值为零。
公式定义如下：
$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)，（2）$$

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具体如下图
图来自《数字图像处理》

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二、一阶微分锐化滤波：梯度

1.梯度

图像中将一阶微分用梯度幅值定义，在坐标（x,y）处点的梯度定义为一个二维列向量：
$$\nabla f\equiv grad(f)\equiv \left[\begin{array}{c}{g}_x\\ g_y\end{array}\right]\equiv \left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right],（3）$$
然后定义图像对应的梯度图像M(x,y),M(x,y)中的值为$\nabla f$的幅度值（长度）：
$$M(x,y)=mag(\nabla f)=\sqrt{g_x^2+g_y^2},（4）$$
或者
$$M(x,y)=mag(\nabla f)=|g_x|+|g_y|,（5）$$
由第一节的一阶微分定义：
当处于灰度值不变的区域中时，$g_x$和$g_y$都是0，则梯度图像对应位置的灰度值大小也为0；
当处于沿x变化的过渡点时，$g_x$非零，$g_y$为零，则梯度图像在对应位置的大小为$|g_x|$；
同理可推其他情况。

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2.sobel算子及MATLAB代码

sobel算子如下：
分别为$g_x$和$g_y$的计算窗口

注： 教材中的坐标轴规定如下
以图像左上角为原点，x轴向下，y轴向右。
以3×3模板为例：
$$\begin{array}{ccc}f(x-1,y-1)& f(x-1,y)& f(x-1,y+1)\\ f(x,y-1)& f(x,y)& f(x,y+1)\\ f(x+1,y-1)& f(x+1,y)& f(x+1,y+1)\end{array}$$

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$g_x$和$g_y$的计算公式分别为为：
$$g_x=\frac{\partial f}{\partial x}=[f(x+1,y-1)+2f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]$$
$$g_y=\frac{\partial f}{\partial y}=[f(x-1,y+1)+2f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2f(x,y-1)+f(x+1,y-1)]$$
则M(x,y)=|$g_x$|+|$g_y$|=…

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MATLAB代码如下

clc;clear;close all
im1=imread('1.jpg');  %读取图像：彩色图
figure
imshow(im1)

im2=rgb2gray(im1);    %获得灰度图
figure
imshow(im2)

f = padarray(im2,[1,1],'symmetric','both');
%此处是对原图矩阵扩充，因为处理窗口为3×3，
%要使图像最外层像素得到处理，则需要四边都向外面扩充一排，此处使用镜面扩充

[m,n]=size(f);%获取矩阵大小
M=zeros(size(f));%提前定义梯度图像M，有利于提高运算速度

for x=2:m-1
    for y=2:n-1
        gx=(f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)) - (f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1));
        gy=(f(x-1,y+1)+2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)) - (f(x-1,y-1)+2*f(x,y-1)+f(x+1,y-1));
        %使用上面的公式计算gx,gy。其他算子类似。
        M(x,y)=abs(gx)+abs(gy);
    end
end
M=M(2:m-1,2:n-1);%去掉扩充的行列
figure
imshow(M)

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二、二阶微分锐化滤波：拉普拉斯算子

1.拉普拉斯算子

与一阶微分相似，拉普拉斯对应的计算公式如下图：
图片来自数字图像处理

拉普拉斯算子模板如下：

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2.拉普拉斯算子MATLAB代码

以上图最左边模板为例：

clc;clear;close all
im1=imread('1.jpg');  %读取图像：彩色图
figure
imshow(im1)

im2=rgb2gray(im1);    %获得灰度图
figure
imshow(im2)

f = padarray(im2,[1,1],'symmetric','both');
%此处是对原图矩阵扩充，因为处理窗口为3×3，
%要使图像最外层像素得到处理，则需要四边都向外面扩充一排，此处使用镜面扩充

[m,n]=size(f);%获取矩阵大小
M=zeros(size(f));%提前定义梯度图像M，有利于提高运算速度

for x=2:m-1
    for y=2:n-1
        M(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4*f(x,y);
        %以3.6-6的公式计算，其他算子模板类似
    end
end
M=M(2:m-1,2:n-1);%去掉扩充的行列
figure
imshow(M)

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三、非锐化掩蔽 和 高提升滤波

1.非锐化掩蔽 和 高提升滤波

非锐化掩蔽：从原图减去一个非锐化（平滑过的）图像。
步骤如下：
（1）模糊原图像（比如平滑滤波）；
（2）原图减去模糊图像，得到的差值图像成为模板；
（3）将模板加到原图像上得到锐化图像。

公式如下：
$$g_{mask}(x,y)=f(x,y)-f^{\prime }(x,y)$$
其中f(x,y)为原图，f’(x,y)为模糊图像，$g_{mask}(x,y)$为模板
则锐化图像g(x,y):
$$g(x,y)=f(x,y)+k\ast g_{mask}(x,y)$$

其中k为权重（>0），当k>1时成为高提升滤波，当k<1时则不强调模板的贡献

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2.MATLAB代码

模糊方法以高斯模糊为例

clc;clear;close all
im1=imread('1.jpg');  %读取图像：彩色图
figure
imshow(im1)

im2=rgb2gray(im1);    %获得灰度图
figure
imshow(im2)

w=fspecial('gaussian',[5 5],5);
im3=imfilter(im2,w);  %高斯模糊，也可以使用其他平滑算法
figure
imshow(im3);

g=im2-im3;    %模板

im4=im2+g;    %锐化图像
figure
imshow(im4)

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总结

MATLAB代码经MATLAB R2019a实现。