遗传算法解决TSP问题
一、遗传算法简介
1.遗传算法的概述
遗传算法的基本思想是从初始种群出发，采用优胜劣汰、 适者生存的自然法则选择个体，并通过杂交、变异来产生新 一代种群，如此逐代进化，直到满足目标为止。遗传算法所 涉及到的基本概念主要有以下几个：
• 种群（Population）：种群是指用遗传算法求解问题时， 初始给定的多个解的集合。遗传算法的求解过程是从这个子 集开始的。
•个体（Individual）：个体是指种群中的单个元素，它通常 由一个用于描述其基本遗传结构的数据结构来表示。例如， 可以用0、1组成的长度为l的串来表示个体。
• 染色体（Chromosome）：染色体是指对个体进行编码后 所得到的编码串。染色体中的每1位称为基因，染色体上由 若干个基因构成的一个有效信息段称为基因组。
• 适应度（Fitness）函数：适应度函数是一种用来对种群中 各个个体的环境适应性进行度量的函数。其函数值是遗传 算法实现优胜劣汰的主要依据
• 遗传操作（Genetic Operator）：遗传操作是指作用于种 群而产生新的种群的操作。标准的遗传操作包括以下3种基本形式：
– 选择（Selection）
– 杂交（Crosssover）
– 变异（Mutation）
2.TSP问题
旅行商问题是图论中的一个著名问题。
假设有一个旅行商人要拜访N个城市，要求他从一个城市出发，每个城市最多拜访一次，最后要回到出发的城市，保证所选择的路径长度最短。
二、代码实现
1.相关参数
N : 城市的个数
M : 种群的个数
ITER: 迭代次数
m: 适应值归一化淘汰加速指数
Pc: 交叉概率
Pmutation: 变异概率
2.相关代码
（1）主函数main
%main
clear;
clc;
%%%%%%%%%%%%%%%输入参数%%%%%%%%
N=25; %%城市的个数
M=100; %%种群的个数
ITER=2000; %%迭代次数
%C_old=C;
m=2; %%适应值归一化淘汰加速指数
Pc=0.8; %%交叉概率
Pmutation=0.05; %%变异概率
%%生成城市的坐标
load citys.mat
pos=citys;
%%生成城市之间距离矩阵
D=zeros(N,N);
for i=1:N
for j=i+1:N
dis=(pos(i,1)-pos(j,1)).^2+(pos(i,2)-pos(j,2)).^2;
D(i,j)=dis^(0.5);
D(j,i)=D(i,j);
end
end
%%生成初始群体
popm=zeros(M,N);
for i=1:M
popm(i,:)=randperm(N);%随机排列，比如[2 4 5 6 1 3]
end
%%随机选择一个种群
R=popm(1,:);
figure(1);
scatter(pos(:,1),pos(:,2),'rx');%画出所有城市坐标
axis([-3 3 -3 3]);
figure(2);
plot_route(pos,R); %%画出初始种群对应各城市之间的连线
axis([-3 3 -3 3]);
%%初始化种群及其适应函数
fitness=zeros(M,1);
len=zeros(M,1);
for i=1:M%计算每个染色体对应的总长度
len(i,1)=myLength(D,popm(i,:));
end
maxlen=max(len);%最大回路
minlen=min(len);%最小回路
fitness=fit(len,m,maxlen,minlen);
rr=find(len==minlen);%找到最小值的下标，赋值为rr
R=popm(rr(1,1),:);%提取该染色体，赋值为R
for i=1:N
fprintf('%d ',R(i));%把R顺序打印出来
end
fprintf('\n');
fitness=fitness/sum(fitness);
distance_min=zeros(ITER+1,1); %%各次迭代的最小的种群的路径总长
nn=M;
iter=0;
while iter<=ITER
fprintf('迭代第%d次\n',iter);
%%选择操作
p=fitness./sum(fitness);
q=cumsum(p);%累加
for i=1:(M-1)
len_1(i,1)=myLength(D,popm(i,:));
r=rand;
tmp=find(r<=q);
popm_sel(i,:)=popm(tmp(1),:);
end
[fmax,indmax]=max(fitness);%求当代最佳个体
popm_sel(M,:)=popm(indmax,:);
%%交叉操作
nnper=randperm(M);
% A=popm_sel(nnper(1),:);
% B=popm_sel(nnper(2),:);
%%
for i=1:M*Pc*0.5
A=popm_sel(nnper(i),:);
B=popm_sel(nnper(i+1),:);
[A,B]=cross(A,B);
% popm_sel(nnper(1),:)=A;
% popm_sel(nnper(2),:)=B;
popm_sel(nnper(i),:)=A;
popm_sel(nnper(i+1),:)=B;
end
%%变异操作
for i=1:M
pick=rand;
while pick==0
pick=rand;
end
if pick<=Pmutation
popm_sel(i,:)=Mutation(popm_sel(i,:));
end
end
%%求适应度函数
NN=size(popm_sel,1);
len=zeros(NN,1);
for i=1:NN
len(i,1)=myLength(D,popm_sel(i,:));
end
maxlen=max(len);
minlen=min(len);
distance_min(iter+1,1)=minlen;
fitness=fit(len,m,maxlen,minlen);
rr=find(len==minlen);
fprintf('minlen=%d\n',minlen);
R=popm_sel(rr(1,1),:);
for i=1:N
fprintf('%d ',R(i));
end
fprintf('\n');
popm=[];
popm=popm_sel;
iter=iter+1;
%pause(1);
end
%end of while
figure(3)
plot_route(pos,R);
axis([-3 3 -3 3]);
figure(4)
plot(distance_min);
（2）保存城市坐标函数city
N=25;
citys=randn(N,2);
save citys.mat
（3）交叉操作函数cross
%交叉操作函数 cross.m
function [A,B]=cross(A,B)
L=length(A);
if L<10
W=L;
elseif ((L/10)-floor(L/10))>=rand&&L>10
W=ceil(L/10)+8;
else
W=floor(L/10)+8;
end
%%W为需要交叉的位数
p=unidrnd(L-W+1);%随机产生一个交叉位置
%fprintf('p=%d ',p);%交叉位置
for i=1:W
x=find(A==B(1,p+i-1));
y=find(B==A(1,p+i-1));
[A(1,p+i-1),B(1,p+i-1)]=exchange(A(1,p+i-1),B(1,p+i-1));
[A(1,x),B(1,y)]=exchange(A(1,x),B(1,y));
end
end
（4）对调函数exchange
%对调函数 exchange.m
function [x,y]=exchange(x,y)
temp=x;
x=y;
y=temp;
end
（5）适应度函数fit
%适应度函数fit.m，每次迭代都要计算每个染色体在本种群内部的优先级别，类似归一化参数。越大约好！
function fitness=fit(len,m,maxlen,minlen)
fitness=len;
for i=1:length(len)
fitness(i,1)=(1-(len(i,1)-minlen)/(maxlen-minlen+0.0001)).^m;
end
（6）变异函数mutation
%变异函数 Mutation.m
function a=Mutation(A)
index1=0;index2=0;
nnper=randperm(size(A,2));
index1=nnper(1);
index2=nnper(2);
%fprintf('index1=%d ',index1);
%fprintf('index2=%d ',index2);
temp=0;
temp=A(index1);
A(index1)=A(index2);
A(index2)=temp;
a=A;
end
（7）染色体的路程代价函数myLength
%染色体的路程代价函数 mylength.m
function len=myLength(D,p)%p是一个排列
[N,NN]=size(D);
len=D(p(1,N),p(1,1));
for i=1:(N-1)
len=len+D(p(1,i),p(1,i+1));
end
end
（8）连点画图函数plot_route
%连点画图函数 plot_route.m
function plot_route(a,R)
scatter(a(:,1),a(:,2),'rx');
hold on;
plot([a(R(1),1),a(R(length(R)),1)],[a(R(1),2),a(R(length(R)),2)]);
hold on;
for i=2:length(R)
x0=a(R(i-1),1);
y0=a(R(i-1),2);
x1=a(R(i),1);
y1=a(R(i),2);
xx=[x0,x1];
yy=[y0,y1];
plot(xx,yy);
hold on;
end
end
三、结果展示
当城市个数N=25，种群数量m=100，交叉概率Pc=0.8，变异概率Pmutation=0.05时：
城市位置分布图：
初始种群路线：
最终路线：
2000次迭代后路径总长的变化，当迭代次数为462次时，已找到最短路径：
1.改变种群数量：
m=200:
m=300:
当城市位置、交叉概率、变异概率不变，改变种群数量,测试结果如下图：
| 种群个数 | 收敛时迭代次数 | 最短距离 | 运行时间 |
|---|---|---|---|
| 100 | 462 | 21.27 | 24.094 |
| 200 | 932 | 21.81 | 21.945 |
| 300 | 274 | 20.57 | 18.830 |
由结果可知，其他参数不变的前提下，随着种群数量的增加，收敛时迭代次数先减少后增加，最短距离先增后减，运行时间随着变化趋势而减少。说明种群数量应当适当。
2.改变交叉概率：
Pc=0.2:
Pc=0.4:
当城市位置、种群数量、变异概率不变，改变交叉概率时,测试结果如下图：
| 交叉概率 | 收敛时迭代次数 | 最短距离 | 运行时间 |
|---|---|---|---|
| 0.2 | 263 | 19.23 | 18.811 |
| 0.4 | 328 | 21.11 | 23.144 |
| 0.8 | 462 | 21.27 | 24.094 |
由结果可知，其他参数不变的前提下，当交叉概率逐渐增加，收敛时迭代次数和最短距离还有运行时间都逐渐增加。
3.改变变异概率：
Pmutation=0.02:
Pmutation=0.08:
当城市位置、种群数量、交叉概率不变，改变变异概率时,测试结果如下图：
| 变异概率 | 收敛时迭代次数 | 最短距离 | 运行时间 |
|---|---|---|---|
| 0.02 | 359 | 18.70 | 19.711 |
| 0.05 | 663 | 20.45 | 23.776 |
| 0.08 | 462 | 21.27 | 24.094 |
由结果可知，其他参数不变的前提下，当变异概率逐渐增加时，收敛时迭代次数先增加后减少，最短距离和运行时间都逐渐增加。
3.改变城市数量：
N=50：
当种群数量、交叉概率、变异概率不变，改变城市数量时,测试结果如下图：
| 城市数量 | 收敛时迭代次数 | 最短距离 | 运行时间 |
|---|---|---|---|
| 25 | 462 | 21.27 | 24.094 |
| 50 | 1975 | 36.2 | 29.280 |
由结果可知，其他参数不变的前提下，当城市数量率逐渐增加时，收敛时迭代次数将逐渐逼近2000，最短距离和运行时间都大幅度增加。所以，在城市数量过大时，遗传算法解决TSP问题将存在缺陷，此时可用蚁群算法等其他算法来求解。