图论及其应用 学习笔记（一）图的基本概念
图的基本概念
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- 图的定义与图论模型
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- 图的定义
- 图的相关概念
- 图论模型
- 图的同构
- 完全图、偶图与补图
- 子图的相关概念
- 图运算
- 顶点的度
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- 顶点的度及其性质
- 图的度序列及其性质
- 图的频序列及其性质
记录一下这门课程的知识点和个人理解，参考资料为这门课老师的讲解、电子科大杨春老师的PPT，以及《图论与网络最优化算法》这本书
图的定义与图论模型
图的定义
一个图是一个序偶
- V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。用|V|表示顶点数；
- E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数。
图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点（小圆圈）表示，E中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。
图的相关概念
- 有限图：顶点集和边集都有限的图称为有限图；
- 平凡图：只有一个顶点的图称为平凡图；
- 空图：边集为空的图称为空图；
- n阶图：顶点数为n的图称为n阶图；
- (n, m) 图：顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图；
- 边的重数：连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数；重数大于1的边称为重边；
- 环：端点重合为一点的边称为环；
- 简单图：无环无重边的图称为简单图；其余的图称为复合图；
- 顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为该边的两个端点；
- 顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点；
- 边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点；
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学模型。
- 一般步骤：
- 定义顶点和边的规则
- 绘图
- 用图论的方法解决问题
- 经典问题：
- 旅行商问题
一电脑代理商要从她所在城市出发，乘飞机去六个城市，
然后回到出发点，如果要求每个城市只经历一次，能否办
到？给出行走方案 - 最小路径问题
- 旅行商问题
图的同构
- 定义：设有两个图 G 1 = ( V 1 , E 1 ) G1=(V1,E1) G1=(V1,E1)和 G 2 = ( V 2 , E 2 ) G2=(V2,E2) G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设
u 1 ↔ u 2 ; v 1 ↔ v 2 ; u 1 , v 1 ∈ V 1 ; u 2 , v 2 ∈ V 2 ; u 1 v 1 ∈ E 1 u_1\leftrightarrow u_2; v_1 \leftrightarrow v_2; u_1,v_1 \in V1; u2,v2 \in V2; u_1v_1\in E1 u1↔u2;v1↔v2;u1,v1∈V1;u2,v2∈V2;u1v1∈E1
当且仅当 u 2 v 2 ∈ E 2 u_2v_2\in E_2 u2v2∈E2,且 u 1 v 1 u1v1 u1v1与 u 2 v 2 u_2v_2 u2v2的重数相同。称 G 1 G1 G1与 G 2 G2 G2同构，记为：
G 1 ≅ G 2 G1 \cong G2 G1≅G2
完全图、偶图与补图
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完全图：每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为完全图。有：
m ( K n ) = 1 2 n ( n − 1 ) m(K_n) = \frac{1}{2}n(n-1) m(Kn)=21n(n−1) -
偶图：也称二部图。是指一个图，它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个
端点在X中，另一个端点在Y中。
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完全偶图：完全偶图是指具有二分类 （ X , Y ） （X, Y） （X,Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为 K m , n K_{m,n} Km,n，下图为 K 2 , 3 K_{2,3} K2,3:
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补图：
对于一个简单图 G = ( V , E ) G =(V, E) G=(V,E)，令集合
E 1 = { u v ∣ u ≠ v , u , v ∈ V } E_1 = \{uv\vert u \neq v,u,v \in V\} E1={uv∣u=v,u,v∈V}
则称图 H = ( V , E 1 − E ) H = (V,E_1-E) H=(V,E1−E)为G的补图，记为 H = G ˉ H = \bar{G} H=Gˉ
注：某些教材会将 E 1 − E E_1-E E1−E表示为 E 1 \ E E_1\backslash E E1\E -
自补图：如果图G与其补图同构，则称G为自补图
注：如果两个数a、b满足 a m o d p = b m o d p a \; mod \; p = b\; mod \; p amodp=bmodp，则称他们模p相等，记做 a ≡ b ( m o d p ) a \equiv b (mod \; p) a≡b(modp)
有：
n = 0 , 1 ( m o d 4 ) 也 即 n 对 4 取 余 的 结 果 为 0 或 1 n = 0,1(mod \; 4) \qquad也即n对4取余的结果为0或1 n=0,1(mod4)也即n对4取余的结果为0或1
子图的相关概念
简单的说，图G的任意一部分（包括本身）都称为是图G的一个子图
- 定义：如果 V ( H ) ⊆ V ( G ) , E ( H ) ⊆ E ( G ) V(H) \subseteq V(G), E(H) \subseteq E(G) V(H)⊆V(G),E(H)⊆E(G) 且 H H H 中边的重数不超过 G G G 中对应边的条数, 则称 H H H 为 G的子图, 记为 H ⊆ G H \subseteq G H⊆G当 H ⊆ G , H ≠ G H \subseteq G, H \neq G H⊆G,H=G 时, 称 H \mathrm{H} H 是 G G G 的真子图, 记为 H ⊂ G H \subset G H⊂G
- 顶点导出子图：如果 V ′ ⊆ V ( G ) V^{\prime} \subseteq V(G) V′⊆V(G), 则以 V ′ V^{\prime} V′ 为顶点集，以两个端点均在 V ′ V^{\prime} V′ 中的边集组成的图, 称头 图G的点导出子图。记为: G [ V ′ ] G\left[V^{\prime}\right] G[V′] 。
- 边导出子图：如果 E ′ ⊆ E ( G ) E^{\prime} \subseteq E(G) E′⊆E(G), 则以 E ′ E^{\prime} E′ 为边集, 以 E ′ E^{\prime} E′ 中边的所有端点为顶点集组成的图, 称为 图G的边导出子图。记为: G [ E ′ ] G\left[E^{\prime}\right] G[E′]
- 图的生成子图：如果一个子图包含G的所有顶点，称该子图为G的一个生成子图
图运算
在图论中，将两个或更多的图按照某种方式合并，或者对一个图作某种形式的操作，可以得到很有意义的新图。将图合并或对一个图进行操作，称为图运算。图运算形式很多。
- 删点：设 V ′ ⊆ V ( G ) V^{\prime} \subseteq V(G) V′⊆V(G), 在 G \mathbf{G} G 中删去 V ′ V^{\prime} V′ 中的顶点和 G \mathbf{G} G 中与之关 联的所有边的操作, 称为删点运算。记为 G − V ′ G-V^{\prime} G−V′ 特别地, 如果只删去一个点 v \mathbf{v} v, 则记为 G-v。
- 删边：设 E ′ ⊆ E ( G ) E^{\prime} \subseteq E(G) E′⊆E(G), 在 G G G 中删去 E ′ E^{\prime} E′ 中的所有边的操作, 称为删边运算。记为 G − E ′ G-E^{\prime} G−E′。特别地, 如果只删去一条边e, 则记为G-e。
注: 删点、删边后得到的图是原图的子图。 - 图的并运算 ：设 G 1 , G 2 G_1,G_2 G1,G2是 G G G的两个子图， G 1 G_1 G1与 G 2 G_2 G2并是指由 V ( G 1 ) ∪ V ( G 2 ) V(G_{1})\cup V(G_2) V(G1)∪V(G2)为顶点集, 以 E ( G 1 ) ∪ E ( G 2 ) E\left(G_1\right) \cup E\left(G_2\right) E(G1)∪E(G2) 为边集组成的子图。记为: G 1 ∪ G 2 G_1 \cup G_2 G1∪G2。特别是, 如果 G 1 , G 2 \mathbf{G}_1, \mathbf{G}_2 G1,G2 不相交(没有公共顶点), 称它们的并为直接并, 可以记为: G 1 + G 2 \quad G_1+G_2 G1+G2
- 图的交运算：设 G 1 , G 2 \mathbf{G}_1, \mathbf{G}_2 G1,G2 是 G \mathbf{G} G 的两个子图, G 1 \mathbf{G}_1 G1 与 G 2 \mathbf{G}_2 G2 交是指由 V ( G 1 ) ∩ V ( G 2 ) V\left(G_1\right) \cap V\left(G_2\right) V(G1)∩V(G2) 为 顶点集, 以 E ( G 1 ) ∩ E ( G 2 ) E\left(G_1\right) \cap E\left(G_2\right) E(G1)∩E(G2) 为边集组成的子图。记为: G 1 ∩ G 2 G_1 \cap G_2 G1∩G2
- 图的差运算：设 G 1 , G 2 G_1, G_2 G1,G2 是两个图, G 1 G_1 G1 与 G 2 G_2 G2 的差是指从 G 1 G_1 G1 中删去 G 2 G_2 G2 中的边得到的 新图。记为 G 1 − G 2 = G [ E ( G 1 ) \ E ( G 2 ) ] G_1-G_2=G\left[E\left(G_1\right) \backslash E\left(G_2\right)\right] G1−G2=G[E(G1)\E(G2)] 注意是边导出子图
- 图的对称差运算（或称环和运算）：设 G 1 , G 2 G_1, G_2 G1,G2 是两个图, G 1 G_1 G1 与 G 2 G_2 G2 的对称差定义为:
G 1 Δ G 2 = ( G 1 ∪ G 2 ) − ( G 1 ∩ G 2 ) G_1 \Delta G_2=\left(G_1 \cup G_2\right)-\left(G_1 \cap G_2\right) G1ΔG2=(G1∪G2)−(G1∩G2)
顶点的度
顶点的度及其性质
- 定义： G G G 的顶点 v v v 的度 d ( v ) d(v) d(v) 是指 G G G 中与 v v v 关联的边的数目, 每个环计算两次。分别用 δ ( G ) \delta(\mathrm{G}) δ(G) 和 Δ ( G ) \Delta(\mathrm{G}) Δ(G) 表示图G的最小与最大度。
- 奇点与偶点：奇数度的顶点称为奇点，偶数度的顶点称为偶点。
- k-正则图：设 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)为简单图，如果对所有 v ∈ V v \in V v∈V,有 d ( v ) = k d(v)=k d(v)=k，称图G为k-正则图。
- 定理（图论第一定理，又称握手定理）：定理: 图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 中所有顶点的度的和等于边数 m m m 的 2 倍, 即:
∑ v ∈ V ( G ) d ( v ) = 2 m \sum_{v \in V(G)} d(v)=2 m v∈V(G)∑d(v)=2m - 推论1：在任何图中，奇点个数为偶数。
- 推论2：正则图的阶数和度数不同时为奇数。
证明 : 设 G G G 是 k k k-正则图, 若 k k k 为奇数, 则由推论 1 知 正则图 G G G 的度数必为偶数
图的度序列及其性质
一个图 G G G的各个点的度 d 1 , d 2 , … , d n d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n} d1,d2,…,dn构成的非负整数组 ( d 1 , d 2 , … , d n ) \left(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}\right) (d1,d2,…,dn) 称为 G G G的度序列 。任意一个图 G G G 对应唯一一个度序列, 图的度序列是 刻画图的特征的重要“拓扑不变量”。
- 拓扑不变量：图 G 的“拓扑不变量” 是指与图G有关的一个数或数组（向量）。它对于与图G同构的所有图来说不会发生改变。一个图G可以对应很多拓扑不变量。如果某组不变量可完全决定一个图, 称它为不变量的完全集。
- 定理: 非负整数组 ( d 1 , d 2 , … , d n ) (\mathrm{d}_{1}, \mathrm{~d}_{2}, \ldots, \mathrm{d}_{\mathrm{n}}) (d1, d2,…,dn)是图的度序列的 充分必要条件是: ∑ i = 1 n d i \sum_{i = 1}^{n} d_{i} ∑i=1ndi 为偶数。
证明：必要性由握手定理立即得到。如果 ∑ i = 1 n d i \sum_{i = 1}^{n} d_{i} ∑i=1ndi 为偶数, 则数组中为奇数的数字个数必为偶数。按照如下方式作图 G :
若 d 1 \mathrm{d}_{1} d1 为偶数, 则在 与之对应的点作 d i / 2 \mathrm{d}_{\mathrm{i}} / 2 di/2 个环; 对于剩下的偶数个奇数,两两配对后分别在每配对点间先连一条边，然后在每个顶点画 ( d j − 1 ) / 2 (d_j-1)/2 (dj−1)/2个环。该图的度序列就是已知数组。
关于图序列，主要研究3个问题：
- 存在问题：什么样的整数组是图序列？
- 计数问题：一个图序列对应多少不同构的图？
- 构造问题：如何画出图序列对应的所有不同构图？
研究现状: (1)彻底解决了，(2)解决得不好，(3)没有解决。
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定理: 非负整数组 π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) , d 1 ≥ d 2 ≥ ⋯ ≥ d n , ∑ i = 1 n d i = 2 m \pi = \left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right), d_{1} \geq d_{2} \geq \cdots \geq d_{n}, \sum_{i = 1}^{n} d_{i} = 2 m π=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯≥dn,∑i=1ndi=2m是图序列的充分必要条件是: π 1 = ( d 2 − 1 , d 3 − 1 , ⋯ , d d 1 + 1 − 1 , d d 1 + 2 , ⋯ , d n ) \pi_{1} = \left(d_{2}-1, d_{3}-1, \cdots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \cdots, d_{n}\right) π1=(d2−1,d3−1,⋯,dd1+1−1,dd1+2,⋯,dn)是图序列。
例 π = ( 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 2 , 2 ) \pi=(6,5,4,3,2,2,2) π=(6,5,4,3,2,2,2)是否为图序列？如果是，作出对应的一个简单图。
解：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \pi_1&=(4,3,2,…
由于是图序列，所以原序列是图序列。
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定理: (厄多斯1960)非负整数组
π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) , d 1 ≥ d 2 ≥ ⋯ ≥ d n , ∑ i = 1 n d i = 2 m \pi = \left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right), d_{1} \geq d_{2} \geq \cdots \geq d_{n}, \sum_{i = 1}^{n} d_{i} = 2 m π=(d1,d2,⋯,dn),d1≥d2≥⋯≥dn,i=1∑ndi=2m
是图序列的充分必要条件是:
∑ i = 1 r d i ≤ r ( r − 1 ) + ∑ i = r + 1 n min { r , d i } , 1 ≤ r ≤ n − 1 \sum_{i = 1}^{r} d_{i} \leq r(r-1)+\sum_{i = r+1}^{n} \min \left\{r, d_{i}\right\}, 1 \leq r \leq n-1 i=1∑rdi≤r(r−1)+i=r+1∑nmin{r,di},1≤r≤n−1
该定理证明很难!
上世纪60年代以来, 人们又研究所谓的唯一图序列问题
- 定理: 一个满足 d 2 = d n − 1 \mathbf{d}_{2}=\mathbf{d}_{\mathbf{n}-1} d2=dn−1 的图序列 π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) \pi=\left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}\right) π=(d1,d2,⋯,dn) 是唯一图序列的充分必要条件是下列条件之一满足:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &(1) d_{1}=d_{…
图的频序列及其性质
- 定理：一个简单图 G G G的 n n n个点的度不能互不相同
证明：因为图G为简单图，所以：
△ ( G ) ≤ n − 1 \triangle(G) \leq n-1 △(G)≤n−1
情形1：若 G \mathrm{G} G 没有孤立点，则 1 ≤ d ( v ) ≤ n − 1 , ∀ v ∈ V ( G ) 1 \leq d(v) \leq n-1, \forall v \in V(G) 1≤d(v)≤n−1,∀v∈V(G)
由鸽笼原理：必有两顶点度数相同;
情形 2: 若 G \mathrm{G} G 只有一个孤立点, 设 G 1 \mathrm{G 1} G1 表示 G \mathrm{G} G 去掉孤
立点后的部分, 则: 1 ≤ d ( v ) ≤ n − 2 , ∀ v ∈ V ( G 1 ) 1 \leq d(v) \leq n-2, \forall v \in V\left(G_{1}\right) 1≤d(v)≤n−2,∀v∈V(G1)
由鸽笼原理：在 G 1 \mathrm{G}_{1} G1 里必有两顶点度数相同;
情形 3: 若 G \mathrm{G} G 只有两个以上的孤立点, 则定理显然 成立。
- 定义: 设 n n n阶图 G G G的各点的度取 s s s个不同的非负整数 d 1 , d 2 , … , d s d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{s} d1,d2,…,ds 又设度为 d i d_{i} di 的点有 b i b_{i} bi 个 ( i = 1 , 2 , … , s ) (i=1,2, \ldots, s) (i=1,2,…,s) , 则 ∑ i = 1 s b i = n \sum_{i=1}^{s} b_{i}=n i=1∑sbi=n故非整数组 ( b 1 , b 2 , … , b s ) \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{s}\right) (b1,b2,…,bs) 是 n n n 的一个划分，称为 G G G 的频 序列。
- 定理：一个 n n n 阶图 G G G 和它的补图有相同的频序列。