计算机术语表达因果,因果推断简介之五：因果图 (Causal Diagram)

原标题：因果推断简介之五：因果图 (Causal Diagram)

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这部分介绍Judea Pearl 于 1995 年发表在 Biometrika 上的工作 “Causal diagrams for empirical research”，这篇文章是 Biometrika 创刊一百多年来少有的讨论文章，Sir David Cox，Guido Imbens, Donald Rubin 和 James Robins 等人都对文章作了讨论。由于 Judea Pearl 最近刚获得了图灵奖，我想他的工作会引起更多的关注(事实上计算机界早就已经过度的关注了)。

一 有向无环图和 do 算子

为了避免过多图论的术语，这里仅仅需要知道有向图中“父亲”和“后代”的概念：有向箭头上游的变量是“父亲”，下游的变量是“后代”。在一个有向无环图(Directed Acyclic Graph；DAG)中，记所有的节点集合为 。这里用 表示连续变量的密度函数和离散变量的概率函数。有两种观点看待一个 DAG：一是将其看成表示条件独立性的模型；二是将其看成一个数据生成机制。当然，本质上这两种观点是一样的。在第一种观点下，给定 DAG 中某个节点的“父亲”节点，它与其所有的非“后代”都独立。根据全概公式和条件独立性，DAG 中变量的联合分布可以有如下的递归分解：

其中 表示 的“父亲”集合，即所有指向 的节点集合。

Figure 1: An Example of Causal Diagram

例子：在 Figure 1 中，联合分布可以分解成为

如果将 DAG 看成一个数据生成机制，那么它和下面的非参数结构方程模型是等价的：

注意，这个联立方程组是“三角的”(triangular)或者“递归的”(recursive)，因为 DAG 中没有环，方程组中也就没有反馈。计量经济学中的联立方程组模型 (simultaneous equation model: SEM)，并不在这个讨论的框架下。DAG 用于描述数据的生成机制，而不常用于描述系统均衡时的状态；后者主要是 SEM 的目的。这样描述变量联合分布或者数据生成机制的模型，被称为“图模型”或者“贝叶斯网络”(Bayesian network)。

显然，一个有向无环图唯一地决定了一个联合分布；反过来，一个联合分布不能唯一地决定有向无环图。反过来的结论不成立，对我们的实践有很重要的意义，比如 Figure 2 中的两个有向无环图，原因和结果不同，图的结构也不同；但是，我们观测到的联合分布 可以有两种分解 和 因此，我们从观测变量的联合分布，很难确定“原因”和“结果”。在下一节图模型结构的学习中，我们会看到，只有在一些假定和特殊情形下，我们可以从观测数据确定“原因”和“结果”。

用一个 DAG 连表示变量之间的关系，并不是最近才有的。图模型也并不是 Judea Pearl 发明的。但是，早期将图模型作为因果推断的工具，成果并不深刻，大家也不太清楚仅仅凭一个图，怎么能讲清楚因果关系。教育、心理和社会学中常用的结构方程模型(structural equation model: SEM)，就是早期的尝试；甚至可以说 SEM 是因果图的先驱。(注意，这里出现的两个 SEM 表示不同的模型！)

DAG 中的箭头，似乎表示了某种“因果关系”。但是，要在 DAG 上引入“因果”的概念，则需要引进 do 算子，do 的意思可以理解成“干预” (intervention)。没有“干预”的概念，很多时候没有办法谈因果关系。在 DAG 中 (也可以记做 )，表示如下的操作：将 中指向 的有向边全部切断，且将 的取值固定为常数 . 如此操作，得到的新 的联合分布可以记做 可以证明，干预后的联合分布为

请注意， 和 在绝大多数情况下是不同的。

例子：考虑如下的两个 DAG：

在 Figure 2 (1) 中，有 。由于 是 的“原因”，“条件”和“干预” ，对应的 的分布相同。但是在 Figure 2 (2) 中，有 . 由于 是 的“结果”，“条件”(或者“给定”)“结果”，“原因”的分布不再等于他的边缘分布，但是人为的“干预”“结果” ，并不影响“原因” 的分布。

根据 do 算子，便可以定义因果作用。比如二值的变量 对于 的平均因果作用定义为

上面 do 算子下的期望，分别对应 do 算子下的分布。这样在 do 算子下定义的因果模型，被已故计量经济学家 Halbert White 称为 Pearl Causal Model (PCM; White and Chalak 2009)。Pearl 在其书中写到：

“I must take the opportunity to acknowledge four colleagues who saw clarity shining through the do(x) operator before it gained popularity: Steffen Lauritzen, David Freedman, James Robins and Philip David. Phil showed special courage in pringting my paper in Biometrika, the journal founded by causality’s worst adversary – Karl Pearson.” (Pearl, 2000)

在书中 Pearl 论述了 RCM 和 PCM 的等价性，即

其中，表示潜在结果。要想说明两个模型的等价性，可以将潜在结果嵌套在 DAG 所对应的数据生成机制之中，所有的潜在结果都由这个非参数结构方程模型产生：

其中， 表示 除去 的父亲节点。上面的方程表示：将 的值强制在 时，DAG 系统所产生的 值。这个意义下，do 算子导出的结果，就是“潜在结果”。

二 d分离，前门准则和后门准则

在上面的叙述中，如果整个 DAG 的结构已知且所有的变量都可观测，那么我们可以根据上面 do 算子的公式算出任意变量之间的因果作用。但是，在绝大多数的实际问题中，我们既不知道整个 DAG 的结构，也不能将所有的变量观测到。因此，仅仅有上面的公式是不够的。

下面，我将介绍 Judea Pearl 提出的“后门准则”(backdoor criterion)和“前门准则”(frontdoor criterion)。这两个准则的意义在于：(1)某些研究中，即使 DAG 中的某些变量不可观测，我们依然可以从观测数据中估计出某些因果作用；(2)这两个准则有助于我们鉴别“混杂变量”和设计观察性研究。

前门准则和后门准则，都涉及了 d 分离(d-seperation)的概念。

定义( d 分离): 设 ， ， 是 DAG 中不相交的节点集合， 为一条连接 中某节点到 中某节点的路径 (不管方向)。如果路径 上某节点满足如下的条件：

在路径 上， 点处为 结构 (或称冲撞点，collider)，且 及其后代不在 中；

在路径 上， 点处不是 结构，且 在 中,

那么称 阻断 (block) 了路径 。进一步，如果 阻断了 到 的所有路径，那么称 d 分离 和 ，记为 。

下面介绍 Pearl (1995) 的主要工作： 后门准则和前门准则。

后门准则：在 DAG 中，如果如下条件满足：

中节点不能是 的后代；

阻断了 之间所有指向 的路径(这样的路径可以称为后门路径)；

则称变量的集合 相对于变量的有序对 满足后门准则。进一步，若 相对于变量的有序对 满足后门准则，其中 和 是 和 中的任意节点；那么称变量的集合 相对于节点集合的有序对 满足后门准则。

为了理解因果图的概念，下面的简短证明是很有必要的。

证明：在 Figure 3 (a) 中，

前门准则：在 DAG 中，称节点的集合 相对于有序对 满足前门准则，如果

切断了所有 到 的直接路径；

到 没有后门路径；

所有 到 的后门路径都被 阻断。

证明：Figure 3 (b) 中蕴含了条件独立性，将在推导中用到： 。

Pearl 在书中讲了一个非常有趣的例子，来说明前门准则的用处。

三 回到 Yule-Simpson’s Paradox

在第一节中，我们看到了经典的 Yule-Simpson’s Paradox。记 为处理(吃药与否)； 为结果(存活与否)， 是用于分层的变量(在最开始的例子中， 是性别；在这里我们先将 简单地看成某个用于分层的变量)。悖论存在，是因为 和 正相关；但是按照 的值分层后， 和 负相关。分，还是不分？—–这是一个问题！这在实际应用是非常重要的问题。

不过，仅仅从“相关”(association)的角度讨论这个问题，是没有答案的。从“因果”(causation)的角度来看，才能有确切的回答。解释 Yule-Simpson’s Paradox，算是因果图的第一个重要应用。

下面，我将以上面的 Figure 4 中的四个图为例说明，三个变量之间的关系的复杂性。

图(a)：根据后门准则， 阻断了 到 的后门路径，因此，根据 做调整可以得到 对 的因果作用。如果实际问题符合图(a)，那么我们需要用调整后的估计量。

图(b)： 是 的“后代”且是 的“父亲”。很多地方称，此时 处于 到 的因果路径上。直观的看，如果忽略 ，那么 和 之间的相关性就是 对 的因果作用，因为 和 之间的后门路径被空集阻断，我们无须调整。如果此时我们用 进行调整，那么得到的是 到 的“直接作用”。不过，什么是“直接作用”，我们将会在后面讨论；这里只是给一个形象的名字。

图(c)：和图(b)相同， 和 之间的相关性就是因果作用。但是，复杂性在于 和 之间有一个共同的但是不可观测的原因 。此时，不调整的相关性，是一个因果关系的度量。但是，如果我们用 进行调整，那么给定 后， 和 相关， 和 之间的后门路径被打通，我们得到的估计量不再具有因果的含义。这种现象发生的原因是， 之间形成了一个 结构：虽然 和 之间是独立的，但是给定 之后， 和 不再独立。

图(d)：这个图常常被 Judea Pearl 用来批评 Donald Rubin，因为它存在一个有趣的 结构。在这个图中，由于 结构的存在， 和 之间的后门路径被空集阻断，因此 和 之间的相关性就是因果性。但是由于 结构的存在，当我们用 进行调整的时候， 和 之间打开了一条“通路”(它们不再独立)，因此 和 之间的后门路径被打通，此时 和 之间的相关性不再具有因果的含义。

我个人认为，因果图是揭开 Yule-Simpson’s Paradox 神秘面纱的有力工具。正如 Judea Pearl 在他的书中写到，不用因果的语言来描述这个问题，我们是讲不清楚这个悖论的。当然，因果的语言不止因果图，Judea Pearl 的解释始终不能得到 Donald Rubin 的认可。

四 讨论

用一个图来描述变量之间的因果关系，是很自然和直观的事情。但是，这并不意味着 Pearl 的理论是老妪能解的。事实上，这套基于 DAG 的因果推断的语言，比传统的 Neyman-Rubin 模型要晦涩很多。DAG 在描述因果关系的时候，常常基于很多暗含的假定而并不明说，这也是 DAG 并没有被大家完全接受的原因。传统的因果推断的语言，开始于 Jerzy Neyman 的博士论文；Donald Rubin 发展这套“潜在结果”的语言，并将它和缺失数据的理论联系在一起，成为统计界更多使用的语言。

在实际中，人们对于图模型的批评从未中断。主要的问题集中在如下的方面：

现实的问题，是否能用一个有向无环图表示？大多数生物学家看到 DAG 的反应是“能不能用图表示反馈？”的确，DAG 作为一种简化的模型，在复杂系统中可能不完全适用。要想将 DAG 推广到动态的系统，或者时间序列中，还有待研究。

Pearl 引入的 do 算子，是他在因果推断领域最主要的贡献。所谓 “do”，就是“干预”，Pearl 认为干预就是从系统之外人为的控制某些变量。但是，这依赖于一个假定：干预某些变量并不会引起 DAG 中其他结构的变化。这个假定常常会受到质疑，但是质疑归质疑，Pearl 的这个假定虽然看似很强，但根据观测数据却不可检验。这种质疑并不是 Pearl 的理论独有的缺陷，这事实上是一切研究的缺陷。比如，我们用完全随机化试验来研究处理的作用，我们要想将实验推广到观察性的数据或者更大的人群中去，也必须用到一些不可验证的假定。

很多人看了 Pearl 的理论后就嘲笑他：难道我们可以在 DAG 中干预“性别”？确实，离开了实际的背景，干预性别似乎是不太合理的。那这个时候，根据 Pearl 的 do算子得到的因果作用意味着什么呢？可以从几个方面回答这个问题。很多问题，我们不能谈论“干预性别”，也不能谈论“性别”的“因果作用”。“性别”的特性是“协变量”(covariate)，对于这类变量(如身高、肤色等)，谈论因果作用不合适，因为我们不能想象出一个可能的“实验”，干预这些变量。

上面的回答基于“实验学派”(experimentalists’)的观点，认为不可干预，就没有“因果”。但是，如果认为只要有数据的生成机制，就有因果关系，那么算出性别的因果作用也不奇怪。(计量经就学一直有争议，以 Joshua Angrist、Guido Imbens 等为首的“实验派”，和以 James Heckman 为首的“结构方程模型”派，有过很激烈的讨论。)

有些问题中性别的因果作用是良好定义的。比如，我们可以人工的修改应聘者简历上的名字(随机的使用男性和女性名字)，便可以研究性别对于求职的影响，是否存在性别歧视等等(已有研究使用过这种实验设计)。

一个更为严重的问题是，实际工作中，我们很难得到一个完整的 DAG，用于阐述变量之间的因果关系或者数据生成机制，使得 DAG 的应用受到的巨大的阻碍。不过，从观测数据学习 DAG 的结构，确实是一个很有趣且重要的问题，这留待下回分解。

在结束时，留些一些思考的问题：

在何种意义下，后门准则的条件，等价于可忽略性，即 ？

在第一节的 Yule-Simpson’s Paradox 中，我们最终选择调整的估计量，还是不调整的估计量？

关于作者

丁鹏，2004-2011 年在北京大学概率统计系学习，获得学士和硕士学位；2011-2015 年在哈佛大学统计系学习，获得博士学位；2015 年在哈佛大学流行病学系做博士后；2016 年加入伯克利统计系任教。研究方向是因果推断。

作者：丁鹏

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