数据结构笔记（三）

树的定义

树是n个结点的有限集。

1）n > 0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点。
2）m > 0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

结点分类

树的度是树内各结点的度的最大值。

结点间关系

树的其他相关概念

树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

树的存储结构

双亲表示法

在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

其中data是数据域，存储结点的数据信息。
而parent的指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。

孩子表示法

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。
设计了两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点。

其中child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。

另一个是表头数组的表头结点，如下图所示：

其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

孩子兄弟表示法

结点结构如下表：

其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。

二叉树的定义

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

1）每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）二叉树的左右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树的性质

1）在二叉树的第i层上至多有$2^{i-1}$个结点。

2）深度为k的二叉树至多有$2^k-1$个结点

3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数（叶子结点数）为$n_0$，度为2的结点数为$n_2$，则$n_0=n_2+1$

4）具有n个结点的完全二叉树的深度为$[lo{g}_{2}n]+1$（[x]表示不大于x的最大整数）

5）如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层编号（从第1层到第$[lo{g}_{2}n]+1$层，每层从左到右），对任一结点i有：

a.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]

b.如果2i>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是结点2i

c.如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

二叉树的存储结构

链式存储

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，这样的链表叫做二叉链表。

其中data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

遍历二叉树

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

二叉树遍历方法

1）前序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

2）中序遍历
若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。

3）后序遍历
若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。

4）层序遍历
若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，从左到右的顺序对结点逐个访问。

不同的遍历提供了对结点依次处理的不同方式，可以在遍历过程中对结点进行各种处理。

树、森林与二叉树的转换

树转换为二叉树

森林转换为二叉树

二叉树转换为树

二叉树转换为森林