tree | 分类回归树模型

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分类回归树（Classification and Regression Trees，CART）模型分为分类树模型和回归树模型：当因变量为分类变量（因子变量）时，使用的是分类树模型；当因变量是连续变量（数值变量）时，使用的是回归树模型。

分类回归树模型不同于线性模型和Logistics模型，它没有具体的模型方程，而是根据自变量多次二分将样本划分成若干子集^[1]。

本文理论部分主要参考如下链接的内容：

https://www.nature.com/articles/nmeth.4370

本文目录如下：

• 1 分类树

  • 1.1 理论基础

  • 1.2 R中的函数

• 2 回归树

  • 2.1 理论基础

  • 2.2 R中的函数

• 3 模型预测

1 分类树

1.1 理论基础

以表示因变量，在分类树模型中，它是一个分类变量，对应到R语言中的数据类型为因子（factor）。

以任意一个自变量的任意一个值为分割点，可以将样本划分成和两个子集。存在一种划分结果，可以使

最大化。

式中，表示样本全集，和表示划分后的两个子集；表示总样本数，和分别表示两个子集的样本数；是关于样本集合的函数。

函数有多种定义方式，常用的有：

• 基尼指数（Gini index）：

• 熵指数（entropy index）：

• 分类误差（misclassification error）：

式中，表示的某个分类在集合中所占的样本比例。

例如，共有三个分类水平1、2、3，其对应的样本数分别为20、30、50，则分别等于0.2、0.3、0.5，三种指数计算如下：

p = c(0.2, 0.3, 0.5)

(Ig = sum(p*(1-p)))
## [1] 0.62

(Ie = -sum(p*log2(p)))  
## [1] 1.485475

(Ic = 1 - max(p))
## [1] 0.5

以基尼指数为例，当所有样本都集中于同一个分类时，指数最小且为0；当样本平均分布在各个类别时，，其中为分类个数，此时。因此可以说，基尼指数越小，表明样本分布越集中，彼此越相似，集合特征也就越明显；基尼指数越大，表明样本分布越分散，彼此差别也越大，集合特征也越不明显。

从的定义式可以看出，由于本身是确定的，因此最大化，实际就是寻找一种划分方法使得最小化，也就是希望子集内的样本尽可能地相似，这也是分类的初衷所在。

在第一轮划分之后得到两个子集，再分别对两个子集进行类似的划分，以此类推，直至达到设定的终止条件，最终将全集样本划分成具有特征的若干子集，形成分类树。