宝物筛选（C++，多重背包）

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ 和 $W$，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来 $n$ 行每行三个整数 $v_i,w_i,m_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

样例 #1

样例输入 #1

4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3

样例输出 #1

47

提示

对于 $30\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^4$，$0\le W\le 10^3$。

对于 $100\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^5$，$0\le W\le 4\times 10^4$，$1\le n\le 100$。

解题思路：

典型的多重背包问题

采用二进制拆分，然后套用01背包动态规划即可

（本来说到这里就打算结束了，但感觉太水了就再说点二进制拆分）

接下来简单说明一下二进制拆分：

尝试将一个物品拆分为1、2、4、8…份，拆分后的物品看作一个物品

如果最后一次不满足拆分条件，但是仍然有剩余，那么剩余的部分看作一个物品

比如说有8个物品，拆分为1、2、4、1

思路很好理解吧，但是与常规的二进制还是有一点不同的，所以容易让人迷惑

让人迷惑通常是（反正这是我感到迷惑的） 为什么这样的二进制拆分与拆分之前是等价的

以有10个物品为例，拆分为1、2、4、3

考虑到01背包的动态规划会尝试每一种可能的组合

也就是说，只要1、2、4、3能够表示0~10的每一个数字，拆分前后就是等价的

可以自行尝试一下，1、2、4、3确实能够表示0~10之间的任意一个数字，但这并不是巧合

1）对于刚好被拆分的数字，如15

15能够拆分为1、2、4、8，不必证明，1、2、4、8一定能够表示0~15之间的任意一个数字

2）而对于不能被刚好拆分的数字$n$来说，如$n\in [8,14]$

最后一次拆分出的物品一定在$[1,7]$范围内

而前三次拆分出的物品一定可以表示出$[0,7]$之内的任意一个数字

已经可以看出来了吧？把最后一次拆分出的数字当作简单的偏移量即可

那么二进制拆分就说明完啦，AC代码如下

//多重背包
#include 
using namespace std;
const int max_sum_m = 1e5;
const int max_n = 100;
const int max_W = 4e4;

struct treasure { int v, w, m; }t_arr[max_n + 1];//拆分前
struct treasure bin_t_arr[max_sum_m + 1];//拆分后
long long dp[max_W + 1];//滚动数组

//二进制拆分
int bin_disassembly(int n) {
	int index = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int power = 1;
		while (t_arr[i].m) {
			bin_t_arr[index].m = 1;
			bin_t_arr[index].v = t_arr[i].v * power;
			bin_t_arr[index].w = t_arr[i].w * power;
			t_arr[i].m -= power;
			power *= 2; index++;
			if (t_arr[i].m < power) {
				bin_t_arr[index].m = 1;
				bin_t_arr[index].v = t_arr[i].v * t_arr[i].m;
				bin_t_arr[index].w = t_arr[i].w * t_arr[i].m;
				index++;
				break;
			}
		}
	}
	return index;//返回物品数量
}

int main() {
	int n, W, v, w, m;
	cin >> n >> W;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> t_arr[i].v >> t_arr[i].w >> t_arr[i].m;
	}
	int ret = bin_disassembly(n);
	for (int i = 1; i < ret; i++) {//动态规划
		for (int j = W; j >= bin_t_arr[i].w; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - bin_t_arr[i].w] + bin_t_arr[i].v);
		}
	}
	cout << dp[W] << endl;
	return 0;
}