（Week 12）综合复习（动态规划，数学）

宝物筛选（C++，多重背包）

题目描述

终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。

这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。

小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。

输入格式

第一行为一个整数 $n$ 和 $W$，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。

接下来 $n$ 行每行三个整数 $v_i,w_i,m_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。

样例 #1

样例输入 #1

4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3

样例输出 #1

47

提示

对于 $30\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^4$，$0\le W\le 10^3$。

对于 $100\%$ 的数据，$n\le \sum m_i\le 10^5$，$0\le W\le 4\times 10^4$，$1\le n\le 100$。

解题思路：

典型的多重背包问题

采用二进制拆分，然后套用01背包动态规划即可

（本来说到这里就打算结束了，但感觉太水了就再说点二进制拆分）

接下来简单说明一下二进制拆分：

尝试将一个物品拆分为1、2、4、8…份，拆分后的物品看作一个物品

如果最后一次不满足拆分条件，但是仍然有剩余，那么剩余的部分看作一个物品

比如说有8个物品，拆分为1、2、4、1

思路很好理解吧，但是与常规的二进制还是有一点不同的，所以容易让人迷惑

让人迷惑通常是（反正这是我感到迷惑的）为什么这样的二进制拆分与拆分之前是等价的

以有10个物品为例，拆分为1、2、4、3

考虑到01背包的动态规划会尝试每一种可能的组合

也就是说，只要1、2、4、3能够表示0~10的每一个数字，拆分前后就是等价的

可以自行尝试一下，1、2、4、3确实能够表示0~10之间的任意一个数字，但这并不是巧合

1）对于刚好被拆分的数字，如15

15能够拆分为1、2、4、8，不必证明，1、2、4、8一定能够表示0~15之间的任意一个数字

2）而对于不能被刚好拆分的数字$n$来说，如$n\in [8,14]$

最后一次拆分出的物品一定在$[1,7]$范围内

而前三次拆分出的物品一定可以表示出$[0,7]$之内的任意一个数字

已经可以看出来了吧？把最后一次拆分出的数字当作简单的偏移量即可

那么二进制拆分就说明完啦，AC代码如下

//多重背包
#include 
using namespace std;
const int max_sum_m = 1e5;
const int max_n = 100;
const int max_W = 4e4;

struct treasure { int v, w, m; }t_arr[max_n + 1];//拆分前
struct treasure bin_t_arr[max_sum_m + 1];//拆分后
long long dp[max_W + 1];//滚动数组

//二进制拆分
int bin_disassembly(int n) {
	int index = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int power = 1;
		while (t_arr[i].m) {
			bin_t_arr[index].m = 1;
			bin_t_arr[index].v = t_arr[i].v * power;
			bin_t_arr[index].w = t_arr[i].w * power;
			t_arr[i].m -= power;
			power *= 2; index++;
			if (t_arr[i].m < power) {
				bin_t_arr[index].m = 1;
				bin_t_arr[index].v = t_arr[i].v * t_arr[i].m;
				bin_t_arr[index].w = t_arr[i].w * t_arr[i].m;
				index++;
				break;
			}
		}
	}
	return index;//返回物品数量
}

int main() {
	int n, W, v, w, m;
	cin >> n >> W;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> t_arr[i].v >> t_arr[i].w >> t_arr[i].m;
	}
	int ret = bin_disassembly(n);
	for (int i = 1; i < ret; i++) {//动态规划
		for (int j = W; j >= bin_t_arr[i].w; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - bin_t_arr[i].w] + bin_t_arr[i].v);
		}
	}
	cout << dp[W] << endl;
	return 0;
}

尴尬的数字（C++，数学）

题目背景

Bessie 刚刚学会了不同进制数之间的转换，但是她总是犯错误，因为她的两个前蹄不能轻松的握住钢笔。

题目描述

每当 Bessie 将一个数转换成新的进制时，她总会写错一位数字。例如，她将 14 转化成 2 进制数，正确的结果是 1110，但她可能会写成 0110 或 1111。Bessie 从不会意外的增加或删减数字，所以她可能会写出以 0 开头的错误数字。

给出 Bessie 转换后 $N$ 的 2 进制形式和 3 进制形式，请计算出 $N$ 的正确数值（用十进制表示）。$N$ 可能会达到 $10^9$，输入数据保证解的存在唯一性。

输入格式

第一行，$N$ 的 2 进制表示（有一位是错误的数字）。

第二行，$N$ 的 3 进制表示（有一位是错误的数字）。

输出格式

$N$ 的正确值。

样例 #1

样例输入 #1

1010
212

样例输出 #1

14

解题思路：

最容易想到的就是暴力枚举，将二进制的每一种可能错误与三进制的每一种可能错误比较，相同则为答案

这里不对这种方法进行说明，采用另一种方法

利用异或^的性质，枚举每一种二进制的可能错误

考虑到在三进制只错一位的前提下，如果得出的N是正确值

那么将abs(正确数 - 三进制错误数)写成$i\ast 3^j$的形式，一定可以得到$i<3$

从而得出时间复杂度接近o(n)的算法

AC代码如下

#include 
#include 
using namespace std;

long long binTodec(string str) {//二进制转十进制
	int len = int(str.size());
	int power = 1;
	long long sum = 0;
	for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
		sum += power * (str[i] - '0');
		power *= 2;
	}
	return sum;
}

long long threeTodec(string str) {//三进制转十进制
	int len = int(str.size());
	int power = 1;
	long long sum = 0;
	for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
		sum += power * (str[i] - '0');
		power *= 3;
	}
	return sum;
}

int main() {
	string str_1, str_2;
	cin >> str_1 >> str_2;
	long long t_1 = binTodec(str_1);
	long long t_2 = threeTodec(str_2);
	int power = pow(2, int(str_1.size()) - 1);
	for (int i = 0; i < int(str_1.size()); i++, power /= 2) {//枚举二进制错误
		long long t_3, t_4;
		if ((str_1[i] - '0') ^ 1)//异或操作
			t_3 = abs((t_4 = t_1 + power) - t_2);
		else
			t_3 = abs((t_4 = t_1 - power) - t_2);
		while (t_3 % 3 == 0) t_3 /= 3;//检测是否正确
		if (t_3 < 3) {
			cout << t_4 << endl;
			break;
		}
	}
	return 0;
}

这里简单说明一下，为什么不可能有第二个N使得判定条件成立

众所周知，暴力枚举一定可以得出正确答案

如果有第二个N可以使得差值写成$i\ast 3^j$，那么对于暴力枚举，这个N同样也是正确的

因为暴力枚举可以把三进制的$j+1$位修改，使得二进制修改后的值与之相等

[传智杯 #4 初赛] 小卡和质数（C++，数学）

题目背景

小卡最近迷上了质数，所以他想到了一个和质数有关的问题来考考你。

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

题目描述

小卡有 $T(1\le T\le 10^5)$ 组询问。每次询问给你两个正整数 $x,y(1\le x,y\le 10^9)$。

小卡想知道，第 $x$ 个质数和第 $y$ 个质数是否满足 $p_x\oplus p_y=1$，即第 $x$ 个质数和第 $y$ 个质数的异或值是否是$1$。

输入格式

第一行一个正整数 $T$，表示询问的数量。

接下来 $T$ 行，每行两个正整数 $x,y$，表示询问的是第 $x$ 个质数和第 $y$ 个质数。

输出格式

$T$ 行，每行一个字符串Yes或No，分别表示两个质数的异或值是 $1$ 或不是 $1$。

样例 #1

样例输入 #1

4
1 2
23 145
66 2
1 14

样例输出 #1

Yes
No
No
No

解题思路：

异或^：对位操作，同则为假、不同为真

因为$1$的位模式为$0001$，则x和y应该符合两个条件：

1）最低位上必须一个为$0$，一个为$1$

2）除了最低位不同，其余位均相同

对于1），二进制表示最低位为$0$的必然为偶数，而质数里有一个也只能有一个偶数就是$2$

再考虑2），$2$的二进制表示为$0010$，可以推出另外一个数的二进制表示为$0011$，也就是$3$

emm对没错，就只有这一种情况，AC代码如下

#include 
using namespace std;

int main() {
	int num_1, num_2, T;
	cin >> T;
	for (int i = 0; i < T; i++) {
		cin >> num_1 >> num_2;
		if (num_1 == 1 && num_2 == 2 || num_1 == 2 && num_2 == 1)
			cout << "Yes" << endl;
		else
			cout << "No" << endl;
	}
}