信号带宽与上升沿的关系

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1. 公式

经常在书上看到这个公式，信号带宽与上升沿的关系


$$BW=\frac{0.35}{T\mathrm{r}}$$

其中BW为带宽，单位为GHz，Tr为上升时间（10%到90%），单位为ns。

这个参数是怎么来的？

2. 傅里叶级数

数学家告诉我们有这样一个公式：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cos (n\Omega t+\phi n)$$

这个就是傅里叶级数，说的是工程中常用的信号可以分解为为无穷多个正余弦函数的和。

为了找出带宽和上升沿之间的关系，我们把方波通过傅里叶级数分解为一系列的正余弦信号的和。

当分解为3个正余弦函数的和，方波(蓝色)的长相：

当分解为5个正余弦函数的和，方波(蓝色)的长相：

当分解为10个正余弦函数的和，方波(蓝色)的长相：

可以看到，随着叠加的正余弦个数增多，方波边沿加快，即高频分量用于展现信号的细节，使得信号细节更加丰富，信号的边沿更陡峭。

3. 分析

我们取出上图所示粉色框内的信号，观察方波的边沿的上升时间。
得到下图由不同的谐波个数构成的方波边沿，其中边沿最快的绿色是由5个谐波构成的方波信号的边沿。边沿最慢的蓝色是由1个谐波构成的基频信号。

取方波稳态值的10%~90%的幅值，找出振幅上升时间Tr。

已知经验公式：
$$BW=\frac{0.35}{T\mathrm{r}}$$

对BW和Tr作表格，BW为分解的次数最高的正余弦谐波频率，Tr为上升时间。
我找了最多有50次谐波（下图值列写20个，往后基本稳定于0.37）
第一列的傅里叶级数分解的最高频率正弦BW，第二列为分解后的信号的10%~90%的上升时间Tr，第三列为Factor=BW*Tr.

对Fre和Factor作图得到了下图

所以这个0.35就是通过分解方波信号，通过FS求得子信号的最高频率作为信号的带宽和此时信号的上升沿，去拟合出来的一个值。这里我们应当有感悟，傅里叶级数中，基波以及低次谐波，用于“表现”信号的整体轮廓。而高次谐波，用于“表现”信号的细节部分。

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