标准化降水蒸散发指数 SPEI 算法及代码（Java）

前言

关于SPEI

SPEI：Standardized Precipitation Evapotranspiration Index 标准化降水蒸散发指数。该指数是使用降水和气温数据计算得到的表征干湿状态的指数，可以计算多种时间尺度（1，3，12，24月等等），SPEI值越大越湿润，值越小越干旱，在干旱研究中应用广泛。它是从SPI Standardized Precipitation Index 归一化降水指数进一步发展而来，同时纳入蒸散发的影响，在气温有显著变化趋势的地区更加适用，尤其适合长时间尺度的研究。
关于SPEI发展背景及详细描述，可以查阅文献[1]

SPEI算法

这里尽量详细讲解一下SPEI的计算过程。
首先，SPEI指数，使用一种简单的方法计算潜在蒸散发PET，计算公式如下：

$$PET=16K(\frac{10T}{I}{)}^m$$
其中，$T$是月均温，单位摄氏度；$I$是热量指数，该指数通过12个月的月度指数相加得到，计算公式如下：
$$I=\sum _{mon=1}^{12}i=\sum _{mon=1}^{12}(\frac{T_{mon,ave}}{5}{)}^{1.514}$$

$T_{mon,ave}$为某月研究时期内多年均值，如一月多年均值为$T_{1,ave}$。$m$是一个取决于热量指数的系数：
$$m=6.75\times 10^{-7}{I}^3-7.71\times 10^{-5}{I}^2+1.79\times 10^{-2}I+0.492$$
系数$K$ 是通过 该月天数$NDM$ 和 最大日照时数$N$ 计算得到的：
$$K=(\frac{N}{12})(\frac{NDM}{30})$$
最大日照实时则可以根据其所在地理位置（纬度$\varphi$，以弧度表示）和所在一年内的时间得到（地球公转规律）。
$$N=(\frac{24}{\pi }){\omega }_s=(\frac{24}{\pi })arccos(-tan\varphi tan\delta )$$
上式中，$\delta$为太阳赤纬（以弧度表示），即是通过一年内所在时间确定：
$$\delta =0.4093sen(\frac{2\pi J}{265}-1.405)$$
其中，$J$是该月平均Julian日，Junlian日就是以一年内日序表示的日期，其中，1月1日为第1 Julian日，12月31日为第365/366 Julian日。

至此就求出来了潜在蒸散发，进一步，根据 降水$P$ 和 潜在蒸散发$PET$ 计算核心变量，即 降水与潜在蒸散发差$D$，某月的$D$计算公式如下：
$$D_i=P_i-PE{T}_i$$
不同时间尺度本质上是$D_i$在时间上的累计，对任意 时间尺度$k$ 的计算如下：
当$j<k$
$$X_{i,j}^k=\sum _{l=13-k+j}^{12}{D}_{i-1,l}+\sum _{l=1}^j{D}_{i,l}$$
当$j\ge k$

$$X_{i,j}^k=\sum _{l=j-k+1}^j{D}_{i,l}$$
其中，$D_{i,l}$ 为第 $i$ 年第一月。$D_{i,j}^k$ 为以$k$为尺度的第$i$年和$j$月的降水蒸散发差。

之后就是对累计变量进行函数拟合，不同于SPI可以用两参数Gamma分布拟合，SPEI变量存在负值情况，需要三参数分布拟合。实验证明。三参数log-logistic分布可以很好拟合变量，该分布函数的表达形式如下：

$$F(x)={\left[1+{\left(\frac{\alpha }{x-\gamma }\right)}^{\beta }\right]}^{-1}$$
参数通过下式估算（L-矩估计）：
$$\alpha =\frac{(w_0-2w_1)\beta }{\Gamma (1+1/\beta )\Gamma (1-1/\beta )}$$
$$\beta =\frac{2w_1-w_0}{6w_1-w_0-6w_2}$$
$$\gamma =w_0-\alpha \Gamma (1+1/\beta )\Gamma (1-1/\beta )$$

其中$w_s$通过下式计算：
$$w_s=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^M(1-F_i{)}^s{D}_i$$

$$F_i=\frac{i-0.35}{M}$$
标准化的分布函数值（概率）计算如下：
$$p=1-F(x)$$
之后即可计算SPEI指数，当$p\le 0.5$时
$$w=\sqrt{-2ln(p)}$$
$$SPEI=w-\frac{c_0+c_{1}w+c_2{w}^2}{1+d_{1}w+d_2{w}^2+d_3{w}^3}$$
各常量系数为：c0=2.515517, c1=0.802853, c2=0.010328, d1=1.432788, d2=0.189269, and d3=0.001308。当$p>0.5$时
$$w=\sqrt{-2ln(1-p)}$$
$$SPEI=-(w-\frac{c_0+c_{1}w+c_2{w}^2}{1+d_{1}w+d_2{w}^2+d_3{w}^3})$$

代码实现（Java）

由于代码过长，就不在这里粘贴了，有需要可以点击这里自行下载（目前只能计算12个月及以内时间尺度）：
本代码定义了一个SPEI计算类SPEII, 放在了SPEII.java，使用如下：

double[][] pre = new double[38][12];
double[][] temp = new double[38][12];
……
SPEII speii = new SPEII(temp, pre, lat,1,1981);  // lat：纬度    1：scale    1981：起始年份
double[][] result = speii.getResult();

参考文献

[1]Vicente-Serrano S M , S Beguería, JI López-Moreno. A Multiscalar Drought Index Sensitive to Global Warming: The Standardized Precipitation Evapotranspiration Index[J]. Journal of Climate, 2010, 23(7):1696-1718.