【离散数学】第二章 命题逻辑的推理理论

2.0学习目标

最重点：

• 主析取范式和主合取范式 （计算题）
• 命题推理有效证明（综合应用题）

一般重点：

• 小项、性质及编码
• 大项、性质及编码

非重点：

• 范式的数学思想
• 范式的性质

2.1范式

1.析取范式与合取范式

【简单析取式】：由一些命题变元或其否定构成的析取式
例如：¬p∨q, p∨¬q, p∨q,¬p,¬q都是简单析取式

【简单合取式】：由一些命题变元或其否定构成的合取式
例如：¬p∧q, p∧¬q, p∧q,¬p,¬q都是简单合取式

【合取范式】：由简单析取式的合取构成的公式
例如：A1∧A2∧A3∧A4…

【析取范式】：由简单合取式的析取构成的公式
例如：A1∨A2∨A3∨A4…

【例题】求命题公式(p∨q)↔p的析取范式和合取范式

• (p∨q)↔p
  ⇔ [¬(p∨q)∨p]∧[¬p∨(p∨q)] (1.消除→,↔)
  ⇔ [(¬p∧¬q)∨p]∧[¬p∨p∨q]（2.¬取到括号内）
  ⇔ [(¬p∨p)∧(¬q∨p)]∧[¬p∨p∨q]（分配律）
  ⇔ 1∧(¬q∨p)∧(1∨q)（排中律）
  ⇔ 1∧(¬q∨p)∧1（零律）（合取范式）
  ⇔ ¬q∨p（同一律）（析取范式）
  ⇔ （¬q∨p）（合取范式）

2.2主范式

一、小项

【小项或极小项】在简单的合取式中，每个变元及其否定不同时存在，两者之一必须出现且仅出现一次，叫布尔合取，也叫小项或极小项

• 两个命题变元p、q所构成的所有小项为： ¬p∧q, p∧¬q, p∧q,¬p∧¬q
• 三个命题变元（2³=）8个小项
• 一般来说n个命题变元共有2ⁿ 个小项

三个命题变元所构成的小项及其编码：小项：肯定：1，否定0

• m₀=m₀₀₀=¬P∧¬Q∧¬R
• m₁=m₀₀₁=¬P∧¬Q∧R
• m₂=m₀₁₀=¬P∧Q∧¬R
• m₃=m₀₁₁=¬P∧Q∧R
• m₄=m₁₀₀=P∧¬Q∧¬R
• m₅=m₁₀₁=P∧¬Q∧R
• m₆=m₁₁₀=P∧Q∧¬R
• m₇=m₁₁₁=P∧Q∧R

P	Q	R	m000	m001	m010	m011	m100	m101	m110	m111
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1

【小项性质 】

• 每个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T,其余情况都为F
• 任意两个不同小项的合取式永假（p∧¬p）
• 全体小项的析取式永真

【主析取范式】对于给定的命题公式，如果有一个他的等价公式，仅由小项的析取组成，该公式称为原公式的主析取范式，可以证明：任何命题公式都存在着与之等价的主析取范式

构造命题公式的主析取范式有如下两种办法：

• 真值表法
• 等价演算法

1.真值表法

【真值表法】即用真值表法求主析取范式

1. 构造命题公式真值表
2. 找出公式中的成真指派对应的小项
3. 这些小项的析取就是此公式的主析取范式

【计算题】用真值表法求（p→q）→r的主析取范式

p	q	r	p→q	(p→q)→r
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	T	T	T
F	T	F	T	F
F	F	T	T	T
F	F	F	T	F

主析取范式写法：

1. m₁₁₁∨m₁₀₁∨m₁₀₀∨m₀₁₁∨m₀₀₁ 推荐
2. (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)
3. m₇∨m₅ ∨m₄ ∨m₃ ∨m₁ 编码2进制转化10进制
4. ∑_(1,3,4,5,7)

二进制转十进制方法

• 111=1x2²+1x2¹+1x2⁰=7
• 101=1x2²+0x2¹+1x2⁰=5
• 100=1x2²+0x2¹+0x2⁰=4
• 011=0x2²+1x2¹+1x2⁰=3
• 001=0x2²+0x2¹+1x2⁰=1

2.等价演算法

【等价演算法】即用基本等价公式推出

1. 化归为析取范式

1. 消除→,↔
2. ¬取到括号内
3. 分配律

2. 除去析取式中所有永假的简单合取式

• p∧¬q：(V0)

3. 在简单合取式中，将重复出现的合取项和相同变元合并

• p∨ p:（p） ¬p∨¬p：(¬p)

4. *在简单合取式中补入没有出现的命题变元及添加∧（p∨¬p），再用分配律展开，最后合并相同的小项

• p, q, r:p∨ q
• p∨ q
• ⇔(p∨q)∧1
• ⇔(p∨q)∧(r∨¬r)
• ⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧ ¬r)

【计算题】用等价演算法求（p→q）→r的主析取范式
（p→q）→r
⇔ ¬(¬p∨q）∨r （条件等值式）（消除→,↔）
⇔（p∧¬q)∨r（双重否定律）（¬取到括号内）
⇔（p∨r)∧(¬q∨r) （分配律）
⇔ [(p∨r)∨(q∧¬q)]∧[(¬q∨r)∨(p∧¬p)] （矛盾律）(同一律)
⇔ [(p∨q∨r)∧(p∨¬q∨r)]∧[(p∨¬q∨r)∧(¬p∨¬q∨r)]（分配律）（交换律）
⇔ m₀₀₀∧m₀₁₀∧m₀₁₀∧m₁₁₀ 大项：肯定：0，否定1
⇔ m₀₀₀∧m₀₁₀∧m₁₀₁
⇔ m₀∧m₂∧m₆
⇔ m₁∨m₃∨m₄∨m₅∨m₇(根据主合取范式与主析取范式的互补性,由上式直接得到主析取范式)
⇔ ∑_(1,3,4,5,7)

二、大项

【大项或极大项】在简单的析取式中，每个变元及其否定不同时存在，两者之一必须出现且仅出现一次，叫布尔析取，也叫大项或极大项

• 两个命题变元p、q所构成的所有大项为： ¬p∨q, p∨¬q, p∨q,¬p∨¬q
• 三个命题变元（2²=）4个大项
• 一般来说n个命题变元共有2ⁿ 个大项

三个命题变元所构成的大项及其编码： 大项：肯定：0，否定1

• m₀=m₁₁₁=¬P∨¬Q∨¬R
• m₁=m₁₁₀=¬P∨¬Q∨R
• m₂=m₁₀₁=¬P∨Q∨¬R
• m₃=m₁₀₀=¬P∨Q∨R
• m₄=m₀₁₁=P∨¬Q∨¬R
• m₅=m₀₁₀=P∨¬Q∨R
• m₆=m₀₀₁=P∨Q∨¬R
• m₇=m₀₀₀=P∨Q∨R

P	Q	R	m000	m001	m010	m011	m100	m101	m110	m111
0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0

小项	编码	小项合取：肯定：1，否定0	大项	编码	大项析取：肯定：0，否定1
m0	m000	¬P∧¬Q∧¬R	m0	m000	P∨Q∨R
m1	m001	¬P∧¬Q∧R	m1	m001	P∨Q∨¬R
m2	m010	¬P∧Q∧¬R	m2	m010	P∨¬Q∨R
m3	m011	¬P∧Q∧R	m3	m011	P∨¬Q∨¬R
m4	m100	P∧¬Q∧¬R	m4	m100	¬P∨Q∨R
m5	m101	P∧¬Q∧R	m5	m101	¬P∨Q∨¬R
m6	m110	P∧Q∧¬R	m6	m110	¬P∨¬Q∨R
m7	m111	P∧Q∧R	m7	m111	¬P∨¬Q∨¬R

【大项性质 】

• 每个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F,其余情况都为T
• 任意两个不同大项的析取式永真（p∨¬p）
• 全体大项的合取式永假

【主合取范式】对于给定的命题公式，如果有一个它的等价公式，仅由大项的合取组成，该公式称为原公式的主合取范式，可以证明：任何命题公式都存在着与之等价的主合取范式

构造命题公式的主析取范式有如下两种办法：

• 真值表法
• 等价演算法

1.真值表法

【真值表法】即用真值表法求主合取范式

1. 构造命题公式真值表
2. 找出公式中的成假指派对应的大项
3. 这些大项的合取就是此公式的主取合 范式

【计算题】用真值表法求（p→q）→r的主合取范式

p	q	r	p→q	(p→q)→r
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	T	T	T
F	T	F	T	F
F	F	T	T	T
F	F	F	T	F

主合取范式写法：

1. m₁₁₀∧m₀₁₀∧m₀₀₀ 推荐
2. (¬p∧¬q∧r)∧(p∧¬q∧r)∧(p∧q∧r)
3. m₆∨m₂ ∨m₀ 编码2进制转化10进制
4. ∏_(0,2,6)

2.等价演算法

【等价演算法】即用基本等价公式推出

1. 化归为合取范式

1. 消除→,↔
2. ¬取到括号内
3. 分配律

2. 除去合取范式中所有永真的简单析取式

• p∧¬q：(V0)

3. 在简单析取式中，将重复出现的析取项和相同变元合并

• p∨ p:（p） ¬p∨¬p：(¬p)

4. *在简单析取式中补入没有出现的命题变元及添加∨（p∧¬p），再用分配律展开，最后合并相同的小项

• p, q, r:p∨ q
• p∨ q
• ⇔(p∨q)∧1
• ⇔(p∨q)∨(r∧¬r)
• ⇔(p∨q∨r)∧(p∨q∨ ¬r)

【计算题】用等价演算法求（p→q）→r的主合取范式
（p→q）→r
⇔ ¬(¬p∨q)∨r (条件等价式)
⇔(p∧¬q)∨r (双重否定律)（德摩根律）
⇔(p∨r )∧ (¬q∨r ) (分配律)
⇔[(p∨r )∨(p∧¬p)]∧[(¬q∨r )∨(p∧¬p)] (矛盾律)(同一律)
⇔[(p∨r∨ q)∧(p∨r ∨¬q)]∧[(¬q∨r∨p )∨(¬q∨r∨¬p) ] (分配律)
⇔[(p∨ q∨r)∧(p∨¬q∨r )]∧[(p∨¬q∨r )∨(¬p∨¬q∨r) ] (交换律)
⇔M₀₀₀∧M₀₁₀∧M₀₁₀∧M₁₁₀
⇔M₀₀₀∧M₀₁₀∧M₁₁₀
⇔M₀∧M₂∧M₆
⇔∏_(0,2,6)

三、主析取范式与主合取范式关系

例：（p→q）→r

• 主析取范式：m₁∨m₃∨m₄∨m₅∨m₇
• 主合取范式：M₀∧M₂∧M₆

• 结论：同一公式中主析取范式中m下标与主合取范式下标是互补的

矛盾式无成真指派，因而主析取范式不含任何小项，将矛盾式的主析取范式记为0
永真式无成假指派，因而主析取范式含2ⁿ(n为命题公式变元的个数)个小项
例如：（p→q）→r ，3个，2³=8
可满足式，主析取范式中的小项个数一定小于或等于2ⁿ

2.3自然推理系统

任何一个推理都是由前提和结论两部分组成
数理逻辑从形式结构上来研究推理的有效性

方法：

1. 真值表法
2. 等值演算法
3. 主析(合)取范式
4. 推理法：根据已知的等值公式和蕴涵式，利用推理公式证明

• 直接推理
• 间接推理

一、直接推理

1.推理规则

• P规则(前提引入规则)：前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用
• T规则(结论引入规则)：推理中，如果一个或多个公式，蕴含了公式S,则公式S可以引入到以后的推理之中
• 转换规则：在推导过程中的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等价公式置换（¬p∨q⇔p→q)

2.推理定律

名称	公式	公式	公式
1.附加律	A ⇒ A∨B
2.化简律	A∧B ⇒ A	A∧B ⇒ B
*3.假言推理	(A→B) ∧A⇒ B
*4.拒取式	(A→B) ∧ ¬B⇒ ¬A
*5.条件(假言)三段论	(A→B) ∧ (B→C)⇒(A→C)
*6.析取三段论	(A∨B) ∧ ¬B⇒A	(A∨B) ∧ ¬A⇒B	(A ∨¬B) ∧ B⇒A
7.合取引入规则	A ,B⇒（A ∧ B）

【证明题】用直接推理法证明：（p→q)∧(q→r)∧p⇒r
证明: （p→q)∧(q→r)∧p⇒r
(1) p→q P规则
(2) p T规则
(3) q T₍₁₎₍₂₎ 假言推理
(4) q→r P规则
(5) r T₍₃₎₍₄₎ 假言推理

*【证明题】用直接推理法证明:（p∨q)∧(p→r)∧(q→s)⇒s∨r
证明: （p∨q)∧(p→r)∧(q→s)⇒s∨r
(1) p∨q P规则
(2) ¬q →p T₍₁₎ 等值互换 （条件等值式： ¬A∨B ⇔ A→B ）
(3) p→r P规则
(4) ¬q→r T₍₂₎₍₃₎ 条件(假言)三段论
(5) q→s P规则
(6) ¬s →¬q T₍₅₎等值互换 (逆否命题)
(7)¬s →r T₍₄₎₍₆₎ 条件(假言)三段论
(8)s∨r T₍₇₎ 等值互换 （条件等值式： ¬A∨B ⇔ A→B ）

注意
p∨q （条件等值式： ¬A∨B ⇔ A→B ）
¬q→p

二、间接推理

1.间接推理方法之一 -----归谬法（反证法）

设要证明H₁∧H₂∧H₃…∧H_n⇒C ,其中H₁,H₂,H₃,…,H_n, C是命题公式

1. 令S⇔H₁∧H₂∧H₃…∧H_n
2. 则上式可以简化为 S⇒C
3. 由蕴含的定义有 1⇔ S→C⇔¬S∨C
4. 两边否定 0⇔ S∧¬C⇔H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧¬C
5. 上式等价下面两式:
   0⇒ H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧¬C (显然成立)
   H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧¬C⇒0
6. 所以要证明:H₁∧H₂∧H₃…∧H_n⇒C 只需证明: H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧¬C⇒0,其中， ¬C叫做附加前提。 这种间接推理方法称为归谬法，也称反证法

*【证明题】用归谬法证明：（p∧q)→r，¬p∨s,¬s,p⇒¬q
【反证法】
(1) q P规则(结论否定)
(2) ¬r∨s P规则
(3) ¬s P规则
(4) ¬r T₍₂₎₍₃₎析取三段论 (A∨B) ∧ ¬B⇒A (¬r∨s)∧ ¬s ⇒ ¬r
(5) (p∧q)→r P规则
(6) ¬(p∧q) T₍₄₎₍₅₎ 条件等值式、排中律、同一律
(7) ¬p∨¬q T₍₆₎ 德摩根律
(8)p P规则
(9)¬q T_{(7) (8)}矛盾律、同一律
(10)q ∧ ¬q T_{(1) (9)}矛盾律

【证明题】用归谬法证明:（p∨q)∧(p→r)∧(q→s)⇒s∨r
反证法
(1) ¬(s∨r) P规则(结论否定)
(2) ¬s∧¬r T₍₁₎ 等值互换
(3)q→s P规则
(4)¬q∨s T₍₃₎ 等值互换
(5)p→r P规则
(6)¬p∨r T₍₅₎ 等值互换
(7) p∨q P规则
(8)¬p∨q T₍₇₎ 等值互换
(9)¬[(¬p∨q)∧(¬p∨r )∧(¬q∨s)]⇒¬s∧¬r
(10)

2.间接推理方法之二 -----CP规则

有时要证明的有效结论是一个条件命题，即要证明H₁∧H₂∧H₃…∧H_n⇒(A→B)

1. 令S⇔H₁∧H₂∧H₃…∧H_n
2. 则上式可以简化为 S⇒(A→B)
3. 由蕴含的定义有
   1⇔ S→(A→B)⇔¬S∨(¬A∨B)
   ⇔(¬S∨¬A)∨B
   ⇔(S∧A)→B
   ⇔H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧A→B
4. 即 H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧A→B
5. 所以要证明:H₁∧H₂∧H₃…∧H_n⇒(A→B)只需证明: H₁∧H₂∧H₃…∧H_n∧A→B,其中， A叫做附加前提。 这种间接推理方法称为CP规则

【证明题】用CP规则证明:p→(q→r),¬t∨p, q⇒t→r
【证明】CP规则

(¬,∧,∨,→,↔,⇒, ⇔ )