【ACWing】905. 区间选点（配数学证明）

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/907/

给定$N$个闭区间$[a_i,b_i]$，要求在数轴上选尽可能少的点，使得每个区间至少含一个点。问最少选多少个点。

输入格式：
第一行包含整数$N$，表示区间数。接下来$N$行，每行包含两个整数$a_i,b_i$，表示一个区间的两个端点。

输出格式：
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

数据范围：
$1\le N\le 10^5$
$-10^9\le a_i\le b_i\le 10^9$

思路是贪心。按右端点从小到大排序，然后顺次遍历这些区间，每次选取当前区间的右端点，然后略过含这个右端点的区间，直到遍历到下一个不含这个点的区间，再取这个区间的右端点，以此类推。

算法正确性证明：
首先这些点确实是一个合法解。接着，我们将这些点作为哪些区间的右端点的那些区间取出来，显然它们是不相交的（如果相交的话，在遍历靠前的区间的时候选点，这个点就应该能把包含它的区间过滤掉，这就矛盾了），而对于不相交区间，最少的选点数就是区间个数。所以算法正确。

代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 100010;

struct Range
{
    int l, r;
    // 要按右端点排序
    bool operator<(const Range &W) const {
        return r < W.r;
    }
} range[N];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d", &range[i].l, &range[i].r);

    sort(range, range + n);

    int res = 0, end = -2e9;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    	// 如果上一次选的区间右端点是小于当前区间左端点，
    	// 那么当前区间就必须有个点要选，则选其右端点
        if (end < range[i].l) {
            res++;
            end = range[i].r;
        }

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

时间复杂度$O(N\log N)$，空间$O(1)$。