DFS (深度优先搜索) 算法详解 + 模板 + 例题，这一篇就够了

深度优先搜索算法（Depth First Search，简称DFS）：一种用于遍历或搜索树或图的算法。 沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过或者在搜寻时结点不满足条件，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。属于盲目搜索,最糟糕的情况算法时间复杂度为O(!n)。

一、基本思想

1. 为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索；
2. 在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索；
3. 如此反复进行，直至得到解或证明无解。

二、操作步骤：

1. 初始原点为v0，使用深度优先搜索，首先访问 v0 -> v1 -> v2 -> v5，到 v5 后面没有结点，则回溯到 v1 ，即最近的且连接有没访问结点的结点v1；
2. 此次从 v1 出发，访问 v1 -> v4 -> v6 -> v3，此时与v3相连的两个结点 v0 与 v6 都已经访问过，回溯到 v6 (v6 具有没访问过的结点)；
3. 此次从 v6 出发，访问 v6 -> v7，到 v7 后面没有结点，回溯；
4. 一直回溯到源点 v0 ，没有没访问过的结点，程序结束。

注：下面图中箭头为回溯方向

三、模板

C模板：

int a[510];   //存储每次选出来的数据
int book[510];   //标记是否被访问
int ans = 0; //记录符合条件的次数

void DFS(int cur){
	if(cur == k){ //k个数已经选完，可以进行输出等相关操作 
		for(int i = 0; i < cur; i++){
			printf("%d ", a[i]);
		} 
		ans++;
		return ;
	}
	
	for(int i = 0; i < n; i++){ //遍历 n个数，并从中选择k个数 
		if(!book[i]){ //若没有被访问 
			book[i] = 1; //标记已被访问 
			a[cur] = i;  //选定本数，并加入数组 
			DFS(cur + 1);  //递归，cur+1 
			book[i] = 0;  //释放，标记为没被访问，方便下次引用 
		}
	}
}

C++模板：

vector<int> a; // 记录每次排列 
vector<int> book; //标记是否被访问 

void DFS(int cur, int k, vector<int>& nums){
    if(cur == k){ //k个数已经选完，可以进行输出等相关操作 
        for(int i = 0; i < cur; i++){
			printf("%d ", a[i]);
		} 
        return ;
    }
    for(int i = 0; i < k; i++){ //遍历 n个数，并从中选择k个数 
        if(book[nums[i]] == 0){ //若没有被访问
            a.push_back(nums[i]); //选定本输，并加入数组 
            book[nums[i]] = 1; //标记已被访问 
            DFS(cur + 1, n, nums); //递归，cur+1 
            book[nums[i]] = 0; //释放，标记为没被访问，方便下次引用 
            a.pop_back(); //弹出刚刚标记为未访问的数
        }
    }
}

四、例题

学算法当然要刷题领悟啦，不然就是我这种一看就会(只是背了下来)，一写就废的菜鸡 ^ - ^
下面就让我们一起看看这个俗称不撞南墙不回头算法都有哪些例题！！！

1、排列问题

题目一：

设有n个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数进行排列（1<=r

示例：

输入：n = 4, r = 3
输出：
1 2 3
1 2 4
1 3 2
1 3 4
1 4 2
1 4 3
2 1 3
2 1 4
2 3 1
2 3 4
2 4 1
2 4 3
3 1 2
3 1 4
3 2 1
3 2 4
3 4 1
3 4 2
4 1 2
4 1 3
4 2 1
4 2 3
4 3 1
4 3 2
24

分析：

在这里某个元素按不同次序出现的组合应视为不同的排列。例如：1 2 3和2 1 3，元素均为1.2.3，只是排列顺序不同，因此应视为元素1.2.3的不同排列。

实现过程：

1. 定义两个数组 a[] 与 book[] ，其中数组a保存每次的排列数据，数组book用来标记 i 这个数是否被访问；
2. 初始化相关数据；
3. 递归填数并判断第i个数填入是否合法：
   合法：填数，并判断是否已经到达环的终点。如果到达终点，打印结果；否则，继续填下一个数；
   不合法：选择下一种可能。

特别地，当n=r时，称为n的全排列。实现时只需把下面程序的终点改为cur==n即可。

AC代码：

#include

using namespace std;

int n, r, ans;  //r个数进行全排列  ans为排列个数 
int book[510]; //标记是否被访问
int a[510]; //记录每次的排列数据

void DFS(int cur){ //从{1,2,...,n}中取r个数构成的排列
	if(cur == r){ //已经去够r个数 
		for(int i = 0; i < cur; i++){ //循环输出 
			cout << a[i] << ' ';
		}
		cout << endl;
		ans++;  //数量加1 
		return ;
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; i++){  //循环遍历保证不漏 
		if(!book[i]){ //若没访问过 
			book[i] = 1; //标记已访问
			a[cur] = i; //i符合条件加入
			DFS(cur + 1); //寻找一个数字 
			book[i] = 0; //回溯：清除标记
		}
	} 
} 

int main(){
	cin >> n >> r;
	DFS(0);
	
	cout << ans << endl;
	return 0; 
}

题目二：

【LeetCode每日一题】46. 全排列 —— DFS算法（C/C++）

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

分析：

具体分析与提交答案请点击题目，这里就不在一一赘述！！！

AC代码：

vector<vector<int>> ans; //记录答案
vector<int> a; // 记录每次排列 
map<int, int> book; //标记是否被访问 

void DFS(int cur, int n, vector<int>& nums){
    if(cur == n){
        ans.push_back(a);
        return ;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(book[nums[i]] == 0){
            a.push_back(nums[i]);
            book[nums[i]] = 1;
            DFS(cur + 1, n, nums);
            book[nums[i]] = 0;
            a.pop_back();
        }
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    DFS(0, n, nums);
    
    return ans; 
}

题目三：

【LeetCode每日一题】784. 字母大小写全排列 —— DFS算法（C/C++）

给定一个字符串 s ，通过将字符串 s 中的每个字母转变大小写，我们可以获得一个新的字符串。

返回 所有可能得到的字符串集合 。以 任意顺序 返回输出。

示例 1：

输入：s = “a1b2”
输出：[“a1b2”, “a1B2”, “A1b2”, “A1B2”]

示例 2:

输入: s = “3z4”
输出: [“3z4”,“3Z4”]

提示:
1 <= s.length <= 12
s 由小写英文字母、大写英文字母和数字组成

分析：

具体思路方案与题目一差不多，这里我说一些需要用到的别的东西 ^ -^
在本题中首先使用 isdigit() 函数判断，若为数字则直接进行递归，即不用管；若为字母则使用 tolower() 函数——变为小写，然后递归，再使用 toupper() 函数——变为大写，递归。

若不明白 isdigit() 函数请看这篇：isdigit函数详解

AC代码：

vector<string> ans; //记录最终结果

void DFS(int cur, string s){
	if(cur == s.size()){
		ans.push_back(s);
		return ;
	}
	
	if(isdigit(s[cur])){
		DFS(cur + 1, s); 
	}else{
		s[cur] = tolower(s[cur]);
		DFS(cur + 1, s);
		s[cur] = toupper(s[cur]);
		DFS(cur + 1, s); 
	}
} 

vector<string> letterCasePermutation(string s) {
	DFS(0, s);
	
	return ans; 
}

2、组合问题

题目一：

【LeetCode每日一题】77. 组合 —— DFS算法（C/C++）
给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 ：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

提示：
1 <= n <= 20
1 <= k <= n

分析：

具体思路与排序差不多，具体需要注意的是，这里某种数字组合的多种排列视为相同情况，因此需 “去重” 。
一种可行的方案是填数的时候：

1. 如果当前填的是第一个数，则直接填入；
2. 在 1 的基础上，后面填入的数都要比前面的数大，因此要进行大小的比较。如果不符合条件，则不能填入。这样既能保证每种组合中数是递增的，也能保证组合是按字典序输出的。

AC代码：

vector<vector<int>> a; //存储排列数据
vector<int> b; // 存储每次的排列数据 

void DFS(int cur, int n, int k){
    if(cur == k){
        a.push_back(b);
        return ; 
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int temp;
        if(cur > 0) temp = b.back();  //返回b数组的最后一个元素
        if((cur == 0) || (cur > 0 && i > temp)){ //第一个数或者后面的数大于前面的数
            b.push_back(i); //符合加入
            DFS(cur + 1, n, k);  //递归选择下一个数
            b.pop_back(); //弹出
        }
    }
}

vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
    DFS(0, n, k);
    return a;
}

3、n皇后问题

题目一：

洛谷——P1219 [USACO1.5]八皇后 Checker Challenge
一个如下的 6 * 6 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 2 4 6 1 3 5 来描述，第 i 个数字表示在第 i 行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 1 2 3 4 5 6
列号 2 4 6 1 3 5

这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 33 个解。最后一行是解的总个数。

输入格式：

一行一个正整数 n，表示棋盘是 n×n 大小的。

输出格式：

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

示例：

输入：6
输出：
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

分析：

问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在／斜线上的行列值之和相同；如果同在＼斜线上的行列值之差相同；从下图可验证：

在摆放皇后时，可以”按行摆放”（这样就保证了皇后不会横向攻击）。即：

（1）起点为 dfs(0)，即从第0行开始摆放皇后，逐行进行。同时使用一维数组 map 保存第 cur 行的皇后摆放的列，也就是说每次尝试摆放皇后的位置坐标为 (cur, map[cur])；

（2）逐列遍历，若发现位置 (i, map[j]) 与位置 (cur, map[cur]) 在同一列 或 同一主对角线 或 同一副对角线上时，摆放失败，该方案”作废”，继续执行；

（3）若摆放成功，则 dfs(cur+1)，表示继续摆放下一行，过程同上；

（4）当 cur=n，即n行皇后均摆放完成时，表示该方案可行，总方案数+1。

AC代码：

#include

using namespace std;

const int M = 20;
int ans = 0, n;
int a[M]; //标记i行 纵坐标为a[i]

void dfs(int cur){
	int flag = 1; //标记该序列是否可行
	if(cur == n){
		if(ans < 3){
			for(int i = 0; i < n-1; i++){
				cout << a[i] << " ";
			}
			cout << a[n-1] << endl;
		}
		ans++;
		return;
	} 
	
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		flag = 1;
		a[cur] = i;
		for(int j = 0; j < cur; j++){
			if(a[cur] == a[j] || cur+a[cur] == j+a[j] || cur-a[cur] == j-a[j]){
				flag = 0;
				break;
			}
		}
		if(flag == 1){
			dfs(cur+1);
		}
	}
}
 
int main(){
	cin >> n;
	dfs(0);
	cout << ans << endl;
	return 0;
} 

4、素数问题

素数问题有好多经典题型，例如素数环、素数和、和为素数等等；下面就来介绍几个经典例题，大家一起来学习吧。

题目一：

洛谷——P1036 [NOIP2002 普及组] 选数
已知 n 个整数 x1，x2，……，xn，以及 1 个整数 k（k

3+7+12=22
3+7+19=29
7+12+19=38
3+12+19=34

现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：3+7+19=29。

输入格式:

第一行两个空格隔开的整数 n,k（1≤n≤20，k 第二行 n 个整数，分别为 x1，x2，……，xn（1 ≤ xi ≤ 5*10^6）

输出格式:
输出一个整数，表示种类数。

示例：

输入：
4 3
3 7 12 19
输出：
1

分析：

本题是 dfs 中的一个非常经典的问题——素数问题中的一个分支，总体思路同上，都是循环遍历加判断 cur == k ；与上面不同的地方在于本类问题需要判断素数，下面我介绍一个判断素数的方法：

1. 0，1 直接返回 false；
2. 循环从 2 开始，根号下 x 结束，若 x % i 为 0 ，说明 x 有除 1 和它本身的其他因数，返回 false ；

AC代码：

#include

using namespace std;
int a[30], book[30];
int n, k, cnt = 0;

bool Judge(int x){
	for(int i = 2; i*i <= x; i++){
		if(x % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

void dfs(int cur, int sum, int t){
	if(cur == k){
		if(Judge(sum)) cnt++;
		return;
	}
	for(int i = t; i < n; i++){
		dfs(cur+1, sum+a[i], i+1);
	}
	return;
}

int main(){
	fill(book, book + 30, 0);
	cin >> n >> k;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		cin >> a[i]; 
	}
	dfs(0, 0, 0);
	cout << cnt << endl;
	return 0;
}