5.2 用迹求特征多项式

迹

  迹，英文为trace，是一个从矩阵到数域的映射。对于一个$n\times n$的方阵来说，存在$n$个迹函数，分别称为1阶迹，2阶迹……n阶迹。k阶迹的定义是矩阵的所有k阶主子式的和。这个定义难以用数学公式来表示，k阶迹的符号是$t{r}^{[k]}(A)$我就以求一个四阶矩阵的2阶迹为例子来说明下吧。
A = ( 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 ) t r [ 2 ] ( A ) = ∣ 1 5 2 6 ∣ + ∣ 1 9 3 11 ∣ + ∣ 1 13 4 16 ∣ + ∣ 6 10 7 11 ∣ + ∣ 6 14 8 16 ∣ + ∣ 11 15 12 16 ∣ = 80 A=\begin{pmatrix}1 & 5 & 9 & 13\\ 2 & 6 & 10 & 14\\ 3 & 7 & 11 & 15\\ 4 & 8 & 12 & 16\\ \end{pmatrix}\\ tr^{[2]}(A)\\= \begin{vmatrix}1 & 5\\ 2 & 6\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1 & 9\\ 3 & 11\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}1 & 13\\ 4 & 16\\ \end{vmatrix}+\\ \begin{vmatrix}6 & 10\\ 7 & 11\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}6 & 14\\ 8 & 16\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}11 & 15\\ 12 & 16\\ \end{vmatrix}\\ =80 A= ​1234​5678​9101112​13141516​ ​tr[2](A)= ​12​56​ ​+ ​13​911​ ​+ ​14​1316​ ​+ ​67​1011​ ​+ ​68​1416​ ​+ ​1112​1516​ ​=80
  求迹特别麻烦，需要用到二项组合树算法或递归算法。
  特别注意：0阶迹被特别定义为1，就像0的阶乘定义为1一样。

特征多项式系数

  特征多项式的系数，假设次数为$k$，那么系数就是$(-1{)}^{n-k}t{r}^{[n-k]}(A)$，所以特征多项式就是：
$${\Delta }_A(\lambda )=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}t{r}^{[n-k]}(A){\lambda }^k$$
  比如上述的矩阵的特征多项式就是：
A = ( 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 ) t r [ 0 ] ( A ) = 1 t r [ 1 ] ( A ) = 34 t r [ 2 ] ( A ) = 80 t r [ 3 ] ( A ) = 0 t r [ 4 ] ( A ) = 0 Δ A ( λ ) = λ 4 − 34 λ 3 + 80 λ 2 A= \begin{pmatrix}1 & 5 & 9 & 13\\ 2 & 6 & 10 & 14\\ 3 & 7 & 11 & 15\\ 4 & 8 & 12 & 16\\ \end{pmatrix}\\ tr^{ [0] } (A)= 1\\ tr^{ [1] } (A)= 34\\ tr^{ [2] } (A)= 80\\ tr^{ [3] } (A)= 0\\ tr^{ [4] } (A)= 0\\ \Delta_A(\lambda)=\lambda^4-34\lambda^3+80\lambda^2 A= ​1234​5678​9101112​13141516​ ​tr[0](A)=1tr[1](A)=34tr[2](A)=80tr[3](A)=0tr[4](A)=0ΔA​(λ)=λ4−34λ3+80λ2

python实现

  我贴的只是局部代码，完整代码在GIT上。

    def trace(self, k):
        if k == 0:
            return 1
        result = 0
        # 求k阶主子式，需要用到所有的组合
        n = len(self.__lines)
        indices = [i for i in range(n)]
        import com.youngthing.mathalgorithm.combinatorics.binomial_combination_tree as bct

        combinations = bct.combinations(indices, k)
        for combination in combinations:
            # 组成一个新矩阵

            # 比如1 3 5代表原矩阵的1,3,5行与1,3,5列
            sub_matrix = self.main_sub_matrix(combination)
            result += sub_matrix.determinant()
        return result

    def main_sub_matrix(self, combination):
        k = len(combination)
        array = [[0 for _ in range(k)] for _ in range(k)]
        # i 列
        for i in range(k):
            # i 行
            for j in range(k):
                array[i][j]= self.__lines[combination[i]][combination[j]]
        return Matrix(array)

    def characteristic_polynomial(self):
        n = len(self.__lines)
        from com.youngthing.mathalgorithm.interpolation.horner_polynominal import HornerPolynomial
        polynomial= [0 for _ in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            trace = self.trace(i)
            print("tr^{",f"[{i}]","}",f"({i})=",trace)
            polynomial[i] = (-1) ** i * trace
        return HornerPolynomial(polynomial)