代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ

代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ

完全背包问题。理解不了多打印多debug。

动态规划:关于完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件

同样leetcode上没有纯完全背包问题,都是需要完全背包的各种应用,需要转化成完全背包问题,所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

在下面的讲解中,我依然举这个例子:

背包最大重量为4。

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

每件商品都有无限个!

问背包能背的物品最大价值是多少?

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上,所以本文就不去做动规五部曲了,我们直接针对遍历顺序经行分析!

首先在回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:

// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

dp状态图如下:

代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ_第1张图片

其实还有一个很重要的问题,为什么遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环?

这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了,大家都默认 遍历物品在外层,遍历背包容量在内层,好像本应该如此一样,那么为什么呢?

难道就不能遍历背包容量在外层,遍历物品在内层?

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了,一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品,再遍历背包容量。

在完全背包中,对于一维dp数组来说,其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓!

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环,状态如图:

代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ_第2张图片

遍历背包容量在外层循环,遍历物品在内层循环,状态如图:

代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ_第3张图片

看了这两个图,大家就会理解,完全背包中,两个for循环的先后循序,都不影响计算dp[j]所需要的值(这个值就是下标j之前所对应的dp[j])。

先遍历背包在遍历物品,代码如下:

// 先遍历背包,再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

整的C++测试代码如下:

// 先遍历物品,在遍历背包
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}
// 先遍历背包,再遍历物品
void test_CompletePack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_CompletePack();
}

总结

细心的同学可能发现,全文我说的都是对于纯完全背包问题,其for循环的先后循环是可以颠倒的!

但如果题目稍稍有点变化,就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话? 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了,而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

最后,又可以出一道面试题了,就是纯完全背包,要求先用二维dp数组实现,然后再用一维dp数组实现,最后在问,两个for循环的先后是否可以颠倒?为什么? 这个简单的完全背包问题,估计就可以难住不少候选人了。

518. 零钱兑换 II

518. 零钱兑换 II - 力扣(Leetcode)

完全背包的一个应用,注意组合和排列的区别。

思路

这是一道典型的背包问题,一看到钱币数量不限,就知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样,纯完全背包是能否凑成总金额,而本题是要求凑成总金额的个数!

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数,为什么强调是组合数呢?

例如示例一:

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合,都是 2 2 1。

如果问的是排列数,那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序,排列强调元素之间的顺序

回归本题,动规五步曲来分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j] (考虑coins[i]的组合总和) 就是所有的dp[j - coins[i]](不考虑coins[i])相加。

所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];

求装满背包有几种方法,一般公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

  1. dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。

从dp[i]的含义上来讲就是,凑成总金额0的货币组合数为1。

下标非0的dp[j]初始化为0,这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

  1. 确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额),还是外层for遍历背包(金钱总额),内层for循环遍历物品(钱币)呢?

因为纯完全背包求得是能否凑成总和,和凑成总和的元素有没有顺序没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行!

而本题要求凑成总和的组合数,元素之间要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数。

那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。

代码如下:

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!

如果把两个for交换顺序,代码如下:

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数!

可能这里很多同学还不是很理解,建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来,对比看一看!(实践出真知)

  1. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:

代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ_第4张图片

最后红色框dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

总结

在求装满背包有几种方案的时候,认清遍历顺序是非常关键的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

377. 组合总和 Ⅳ

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣(Leetcode)

其实说是排列总和更加准确一点,因为要考虑相同元素的不同顺序。同时也要注意遍历方式的改变。

思路

本题题目描述说是求组合,但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合,其实就是求排列!

弄清什么是组合,什么是排列很重要。

组合不强调顺序,(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序,(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

但其本质是本题求的是排列总和,而且仅仅是求排列总和的个数,并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话,只能使用回溯算法爆搜

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

  1. 确定递推公式

dp[i](考虑nums[j])可以由 dp[i - nums[j]](不考虑nums[j]) 推导出来。

因为只要得到nums[j],排列个数dp[i - nums[j]],就是dp[i]的一部分。

求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

  1. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故,dp[0]要初始化为1,这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢?

其实没有意义,所以我也不去强行解释它的意义了,因为题目中也说了:给定目标值是正整数! 所以dp[0] = 1是没有意义的,仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢?

初始化为0,这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

  1. 确定遍历顺序

个数可以不限使用,说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列,那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

如果把遍历nums(物品)放在外循环,遍历target的作为内循环的话,举一个例子:计算dp[4]的时候,结果集只有 {1,3} 这样的集合,不会有{3,1}这样的集合,因为nums遍历放在外层,3只能出现在1后面!

所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target(背包)放在外循环,将nums(物品)放在内循环,内循环从前到后遍历

  1. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下:

代码随想录刷题day44 完全背包;518. 零钱兑换 II ;377. 组合总和 Ⅳ_第5张图片

如果代码运行处的结果不是想要的结果,就把dp[i]都打出来,看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

解决方法之一:直接把dp里的数据类型改成double就能过了。。。

总结

求装满背包有几种方法,递归公式都是一样的,没有什么差别,但关键在于遍历顺序!

你可能感兴趣的:(算法,动态规划,leetcode)