深度学习 GNN图神经网络（一）图的基本知识

一、前言

本文主要介绍图的一些基础知识，不会太深奥，够用就行。我们以民国最出名的七角恋人物关系图为例进行讲解。

二、图的概念

图（Graph）可以用来描述实体之间的关系。

如下图所示，一张图捋清民国最出名的七角恋（摘自全历史）：

这是一张图，包括人物实体以及人物关系。我们抽象成下面的形式，人物是图的顶点（Vertex）、人物关系是图的边（Edge）。顶点（节点）和边都可以附带各自的属性（如：姓名、关系类型等）。

二、图的表示

上面的带箭头符号的边是有方向的，是有向图。我们进一步抽象，把属性和边方向去掉，变成一张简单的无向图：

如上图所示，图$\mathcal{G}$包含9个顶点、13条边。我们可以表示为：
$\mathcal{G}=\{\mathcal{V},\mathcal{E}\}$，其中：$\mathcal{V}=\{v_1,v_2,\dots ,v_9\}$，$\mathcal{E}=\{e_1,e_2,\dots ,e_{13}\}$

但是，我们需要用计算机来进行图计算，那么在计算机里怎么表示一张图呢？
如下图，我们用一张二维图表表示图$\mathcal{G}$，$1$ 表示两个顶点之间存在关系。

如果我们空白处用 $0$ 填充，那么就形成了一个矩阵$A$，这个矩阵叫做邻接矩阵，等价于图$\mathcal{G}$，可以简单地用二维数组存储，如下：
A = ( 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) A=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&1&0&1&0&0 \\ 1&0&0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0&1&0 \\ 1&0&1&0&1&0&0&1&0 \\ 1&0&0&1&0&1&1&0&1 \\ 0&0&0&0&1&0&1&0&0 \\ 1&0&0&0&1&1&0&0&0 \\ 0&1&1&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0&0 \\ \end{pmatrix} A= ​010110100​100000010​000100010​101010010​100101101​000010100​100011000​011100000​000010000​ ​

三、图的性质

为了方便对比参考，把上面的图贴到这里：

3.1 度

一个节点的度就是与之相连的边的条数。例如顶点$v_1$有$e_1、e_2、e_3$ 三条边，则度为3；同理$v_2$的度为2、$v_3$的度也为2。

在有向图中，根据边的方向还分为出度和入度。

3.2 连通性

如果通过一个节点的边，可以到达图的任意节点，那么这个图是连通图,反正为非连通图。

3.3 子图

指图的一部分。

3.3 中心性

度中心性
节点$v$的度中心性=$\frac{顶点v的度}{n-1}$，$n$为图的节点数量。
例如 $v_1$的度中心性为$\frac{3}{9-1}=0.375$，$v_2$的度中心性为$\frac{2}{9-1}=0.25$