tarjan算法求有向图强连通分量

这两天学习了tarjan解决强连通分量的方法,来晒晒。。

参考 :http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/        byvoid的)

          http://www.codewaysky.com/                        codewaysky

[有向图强连通分量]

 

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)

 

下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

 

 

直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[算法流程演示]

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是 O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。 在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

代码:

我的pascal

View Code
 1    type
2 ji=^rec;
3 rec=record
4 data:longint;
5 next:ji;
6 end;
7 var
8 i,j,n,m,k,l,tot,x,y,color,top:longint;
9 lack,col,q,dfn,low:array[1..200000]of longint;
10 a:array[1..200000]of ji;
11 function min(x,y:longint):longint;
12 begin
13 if x<y then exit(x);
14 exit(y);
15 end;
16 procedure insert(x,y:longint);
17 var
18 p:ji;
19 begin
20 new(p);
21 p^.data:=y;
22 p^.next:=a[x];
23 a[x]:=p;
24 end;
25 procedure tarjan(x:longint);
26 var
27 now:ji;
28 i,j,y:longint;
29 begin
30 inc(tot);dfn[x]:=tot;low[x]:=tot;
31 inc(top);q[top]:=x;lack[x]:=top;
32 now:=a[x];
33 while now<>nil do
34 begin
35 y:=now^.data;
36 if dfn[y]=0 then
37 begin
38 tarjan(y);
39 low[x]:=min(low[x],low[y]);
40 end
41 else if lack[y]<>0 then low[x]:=min(low[x],dfn[y]);
42 now:=now^.next;
43 end;
44 if low[x]=dfn[x] then
45 begin
46 inc(color);
47 j:=lack[x];
48 for i:=j to top do
49 begin
50 col[q[i]]:=color;
51 lack[q[i]]:=0;
52 end;
53 top:=j-1;
54 end;
55 end;
56 begin
57 readln(n,m);
58 for i:=1 to m do
59 begin
60 readln(x,y);
61 insert(x,y);
62 end;
63 tarjan(1);
64 for i:=1 to n do writeln(col[i]);
65 end.

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