线性代数 向量组

向量的定义

维数：向量中数的个数。
这里的a都是数字。

这是一个矩阵，和上述向量有本质的区别。

向量的运算

很简单的计算，考试也不会重点考

线性组合，线性表出

1. 向量组的线性组合

这里的k是可以为0的。

• 线性表出
  
  β能被线性组α线性表出

向量组线性相关，线性无关(非常重要)

1. 线性相关
   
   满足上式且k是一组不全为0的数，则称α1，…αn线性相关。

向量组α1，…αn线性相关的充要条件

• 至少存在一个向量αi可以由其他的向量线性表出
• 矩阵A=(α1，…αn)的秩 r(A)

证明如下：
(1) 因为线性相关，则当k1不为零时 必然有

即α1可以由其余向量线性表出
(2) 因为线性相关，则某一向量可由其余向量线性表出，假设αn可以由其余向量线性表出。
那么

(3) 因为线性相关，根据线性相关的定义，x1…xn不全为零，即存在非零解。

其他性质

证明过程如下：

(2) 因为n个n维向量线性相关，那么这n个n维向量构成的方阵的秩必然小于n，即至少存在一行全为0，那么行列式的值为0

(3) n+1个n维向量组成的矩阵维n行，n+1列，根据矩阵秩的性质，矩阵的秩小于等于min(m,n)，即

向量够成的矩阵小于向量个数，即向量组线性相关。

(4)

所以存在一组不是全部为0的x值，使得上式成立，α1，…αn线性相关，即若部分相关，则整体相关。
根据逆否命题，还可以得到 若整体无关，则部分无关。

(5) 这条定理显然成立。
延申是只在列向量组的下方添加几行，在行向量组的右方添加几列。

上式说明存在一组非零的k(k不是全部为0)使得列向量组线性相关，那么下式也成立。

这便是 延伸组线性相关，原向量组也线性相关。

有同学会混淆 这条结论和上一条结论，认为这不就说明整体线性相关推出部分线性相关了吗？其实要注意我所说的整体相关是在列向量组的右方增加了若干列向量，而延伸组是在列向量组的下方增加了若干行向量。

同样根据逆否命题可以得出，向量组线性无关，那么他的延伸组也线性无关。

• 线性无关
  
  只有当所有的k为0时上式成立，则称α1，…αn线性无关。

线性无关的充要条件

• 任一向量αi都不能由其余的向量线性表出
• 矩阵A=(α1，…αn)的秩 r(A)=n

证明上述结论：
(1) 根据向量组线性无关的概念，所有的k都为0，那么由于分母不能为零，向量αi不能由其余的向量线性表出

(2) 线性无关，那么不能经过初等变换，是某一行元素全部为0。所以向量组构成的矩阵的秩=向量的个数n。

(3)
方程组只有零解时，根据线性无关的概念，向量组线性无关。

这两条结论也很常用，在上述证明向量组线性相关时已说明，可自行查阅。

向量与向量组的线性表出

根据向量组线性相关和无关的充要条件，可以得出

这说明β可由向量组α线性表出。
表示法唯一可由反证法证明，假设有两种表示法。

根据α向量组线性无关，那么x等于k，即β只有一种表示法。

第二条很容易理解，根据初等变换不改变秩的性质。
充分性证明：

必要性证明：

第三条定理：

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