杨氏双缝与等倾干涉实验Matlab仿真

1.杨氏双缝干涉

1.1实验原理

1.1.1光波干涉的三个条件

①两列光波的频率必须相同。

②两列光波频率相同，在相遇点的振动方向必须相同，或者有振动方向相同的分量。

③两列光波在相遇的区域内，必须保持稳定的相位差。

1.1.2杨氏双缝干涉实验的构想

图1杨氏双缝干涉实验光路图

如图所示，S是单色光源，S1、S2是不透明板上的两个小孔（后来托马斯·杨为了提高干涉条纹的亮度改为两条平行狭缝）V是观察屏。从S发出的光波，其波面传到S1、S2以后形成两列频率相同，振动方向相同的光波，对空间某一点P，从S1、S2到P点的距离是一定的，或者说光程是一定的，光程差也是一定的，那么从S1、S2发出的两列光波到达P点时，在该点产生的相位差也是一点的，对于空间其他的点也是一样的，有类似的情况。因此，在两列光波相遇的区域内可以得到稳定的相位差分布；这就满足了光的干涉条件中非常重要的第三个条件，即是这个古老的实验的构思巧妙之处。

1.1.3 杨氏双缝干涉条纹的特点及计算

S发出的光波射到光屏上的两个小狭缝S1、S2上，S1和S2相距很近且到S的距离相等，从S1和S2分别发散出的光波是由同一光波分出来的，所以是相干光，它们在相距为D的观察屏V上叠加，形成一定的干涉图样。

假设S是单色点光源，在观察屏上某一点P，P到光屏中心O点的距离为X，S1到P得距离为r1，S2到P得距离为r2。在P点从S1和S2发出的光波在该点叠加产生的光强度为：

此实验中，令

所以：

在点P，光波1、2的相位差应当是:

其中λ是光源的波长，Δλ是光波1、2到达点P的光程差，在D、d、x之间有D>>x>>d的关系，因此和r1和r2可以看作是十分靠近而接近于平行的线段。

所以：

而：

则，

d比x小一到两个数量级，所以:

则,上式可以忽略，因而得到:

所以

P点式任意的，所以（5）式也是任意的。在观察屏上不同的地方x的值不同，代入的值就可以得到δ、Δr。实验中选定λ、d、D后，就可以得到稳定的干涉条纹。

如果观察屏上的某些点的x值使得光程差满足:

相应地，

将（7）式代入（2）式可得到

这说明。在观察屏V上满足Δr=±mλ的x，光强最大，这些地方就是亮条纹的中心，此时的x用

x亮，来表示亮条纹中心：

如果观察屏V上的某些x的值是该处的光程差满足

那么

光强为

这就表明干涉的结果使这些地方的光强最小，这些地方最暗，这些地方就是观察屏上的暗条纹的中心。

通过上面的推导，我们代入简单数值计算可以得出，相邻亮条纹和相邻暗条纹之间的距离是相等的，它们各自等于：

1.1.4 总结

①通过上面的分析，可以得出杨氏双缝干涉条纹的特点：

这组明暗相间的条纹亮度的变化是逐渐的，从最亮慢慢地变弱，直到最暗；又从最暗慢慢加强，直到最亮。

②这组条纹是等间距的，即相邻的最暗条纹间的距离（或者说最亮条纹间的距离）是相等的。

通过上面的分析，可以得出杨氏双缝干涉条纹的特点：

1.2 程序设计

实验时以单色光入射，固定双缝到接收幕屏的距离，调整好双缝间距，双缝间距用d表示，缝到屏幕的距离用D表示。根据上述理论分析，主程序编写如下，

clear
lam=500e-9;
d=2e-3;D=1;
ym=5*lam*D/d;xs=ym;
n=101;ys=linspace(-ym,ym,n);
for i=1:n
    r1=sqrt((ys(i)-d/2).^2+D^2);
    r2=sqrt((ys(i)+d/2).^2+D^2);
    phi=2*pi*(r2-r1)./lam;
    B(i,:)=sum(4*cos(phi/2).^2);
end
N=255;
Br=B*N;
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br);
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys);

根据上述理论分析可得，相邻亮条纹和相邻暗条纹之间的距离是相等的，它们各自等于：

即条纹间距 ，用edit_lam表示波长，单位是纳米；用edit_D表示双缝到屏幕的距离，单位是米；用edit_d表示双缝间距，单位是厘米；则可计算干涉条纹间距。

>> edit_interval=edit_lam*edit_D/(edit_d*10000);

其中edit_interval表示条纹间距，计算出来的单位是毫米。回调函数编程为：

num1=str2num(get,'string'));

num2=str2num(get,'string'));

num3=str2num(get,'string'));

num4=num2str(num1*num2/(num3*10000));

set,'string',num4);

仿真结果：

1.3 用户界面设计

为了实现人机交互，方便人们分析不同参数对实验的影响，我设计了图形用户界面，如图2， 自由输入参数，编写了相应的回调函数，可以实现人机交互。

图2.用户界面

当输入单色光光波波长，双峰间距，屏缝间距，然后点击演示，即可在图形框现实相应的干涉图样和光强分布图，如图3。

图3干涉图样、光强分布曲线

点击界面上的计算条纹间距，在interval数据框中可显示计算的条纹，如图4。

图4.计算条纹间距

1.4 仿真实验与传统实验的比较

传统实验，要受到实验环境、仪器设备的制约；除此之外，还要求操作者能熟练调节各个仪器，才能是实验顺利完成，在屏幕上才能看到清晰的干涉图样。但是，当改变实验参数时，看到的干涉图样改变不是很明显，不易体现改变实验参数对实验的影响，不能完全体现实验的特征。但它能锻炼学生的动手操作能了，熟悉实验步骤。

利用计算机仿真杨氏双缝干涉实验，不受实验环境、实验条件的影响，是难理解的干涉现象直观的呈现出来，通过输入不同实验参数，得到相应的干涉图样、光强分布曲线，便于观察和比较试验参数对地实验的影响。但是，都使用仿真实验进行教学，不利于学生动手能力和创新能力的陪养。

1.5总结

由上面的分析和讨论，可以看出，用计算机对光学实验进行仿真，给教学带来了很大便利，它可以不受实验场所、仪器的限制，使实验及时化、方便化，更使抽象难懂的光学概念形象化。

2.等倾干涉

2.1 实验原理

光线以倾角i入射,上下两条反 射光线经过透镜作用汇聚一起,形成干涉。由于入射角相同的光经薄膜两表面反射形成的 反射光在相遇点有相同的 光程差,也就就是说,凡入射角相同的就形成同一条纹,故这些 倾斜度不同的 光束经薄膜反射所形成的干涉花样就是一些明暗相间的同心圆环.这种干涉称为等倾干涉。

基本理论:薄膜干涉中两相干光的光程差公式(表示为 入射角的函数形式) 为式中n为薄膜的折射率;n0为空气的折射率;h为入射点的薄膜厚度;i0为薄膜的入射角;+λ/2为由于两束相干光在性质不同的两个界面(一个就是光疏-光密界面,另一就是光密-光疏界面)上反射而引起的附加光程差;λ为真空中 波长。 薄膜干涉原理广泛应用于光学表面的检验、微小的角度或线度的精密测量、 减反射膜与干涉滤光片的制等。

当光程差为波长整数倍时,形成亮条纹,为半波长奇数倍时就是暗条纹。等倾条纹就是内疏外密的同心圆环。

2.2 程序设计

为了方便计算,这里假设光波为垂直入射到薄膜上,并且设光源波长为450nm。薄膜的厚度魏0、35nm,透镜焦距为0、25m。

主程序编写

clc;clear all
xmax=1.5;ymax=1.5;
Lamd=452e-009;
h=0.35;
n=input('请输入折射率:');
f=250;
N=500;
x=linspace(-xmax,xmax,N);
y=linspace(-ymax,ymax,N);
for i=1:N
    for j=1:N
        r(i,j)=sqrt(x(i)*x(i)+y(j)*y(j));
        u(i,j)=r(i,j)/f;
        t(i,j)=asin(n*sin(atan(u(i,j))));
        phi(i,j)=2*n*h*cos(t(i,j))+Lamd/2;
        B(i,j)=4*cos(pi*phi(i,j)/Lamd).^2;
        
    end
end
Nclevels=255;
Br=B/2.5*Nclevels;
figure(1)%二维展示
image(x,y,Br);
colormap(gray(Nclevels));
figure(2);%三维展示
mesh(x,y,Br);
colormap(gray(Nclevels));

2.3 仿真结果

通过matlab编程计算获得等倾干涉二维与三维光强分别如图5、图6所示。

图5.二维干涉图像

图6.三维干涉图像