高等代数理论基础43：子空间的直和

子空间的直和

直和

定义：设是线性空间V的子空间,若,分解式是唯一的,则称为直和,记作

例：三维几何空间V中,用表示一条通过原点的直线,表示一张通过原点且与垂直的平面,则是直和

定理：是直和等式只在全为零向量时才成立

证明：

推论：是直和

证明：

定理：设是V的子空间,令,则

证明：

定理：设U是线性空间V的一个子空间,则存在子空间W使

证明：

推广

定义：设是线性空间V的子空间,若的分解式是唯一的,则该和称为直和,记作

定理：是V的子空间,则下列条件等价

1.是直和

2.零向量的表法唯一

3.

4.