【数学基础】数学分析 - 2 函数

函数

在本节, 将介绍函数的基本概念、性质与常见的函数.

函数的概念

定义2-1 函数 给定实数集合 X X X, 若存在唯一的对应法则 f f f, 是的对于 X X X中的任意一个实数 x x x, 存在唯一的实数 y ∈ R y \in \mathbb{R} yR与之对应, 则称 f f f是定义在 X X X上的函数, 记为
f : X ↦ R   or   f : x → y f: X \mapsto \mathbb{R} \ \ \text{or} \ \ f: x \rightarrow y f:XR  or  f:xy也可以记为 y = f ( x ) , x ∈ X y = f(x), x\in X y=f(x),xX.

定义2-2 奇偶性 对于定义在关于原点对称的集合 X X X上的函数 f f f, 若对 ∀ x ∈ X \forall x \in X xX, 有 f ( x ) = f ( − x ) f(x) = f(-x) f(x)=f(x), 则称 f f f偶函数; 若对 ∀ x ∈ X \forall x \in X xX, 有 f ( x ) = − f ( − x ) f(x) = -f(-x) f(x)=f(x), 则称 f f f奇函数.

定义2-3 单调性 对于定义在集合 X X X上的函数 f ( x ) f(x) f(x), 对 ∀ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 < x 2 \forall x_1,x_2 \in X, x_1 < x_2 x1,x2X,x1<x2, 有 f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) f(x_1) \leq f(x_2) f(x1)f(x2), 则称 f ( x ) f(x) f(x) X X X上是单调上升或单调递增的, 若满足 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f(x_1) < f(x_2) f(x1)<f(x2), 则称 f ( x ) f(x) f(x) X X X上是严格单调上升或严格单调递增的; 对 ∀ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 < x 2 \forall x_1,x_2 \in X, x_1 < x_2 x1,x2X,x1<x2, 有 f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) f(x_1) \geq f(x_2) f(x1)f(x2), 则称 f ( x ) f(x) f(x) X X X上是单调下降或单调递减的, 若满足 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) f(x_1) > f(x_2) f(x1)>f(x2), 则称 f ( x ) f(x) f(x) X X X上是严格单调下降或严格单调递减的.

定义2-4 周期性 设函数 f ( x ) f(x) f(x) X X X上有定义, 若存在正数 T > 0 T>0 T>0, 对 ∀ x ∈ X \forall x \in X xX, 有 x + T ∈ X x+T \in X x+TX, 且 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T) = f(x) f(x+T)=f(x), 则称 f ( x ) f(x) f(x)周期函数, T T T称为 f ( x ) f(x) f(x)周期.

定义2-5 有界性 设函数 f ( x ) f(x) f(x) X X X上有定义, 若 ∃ M > 0 \exists M>0 M>0, 对 ∀ x ∈ X \forall x \in X xX, 有
∣ f ( x ) ∣ ≤ M \left| f(x) \right| \leq M f(x)M则称 f ( x ) f(x) f(x) X X X上有界.

定义2-6 复合函数 设函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)定义域为 U U U, u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)定义域为 X X X, 且 g ( X ) ⊂ U g(X)\subset U g(X)U, 则 y = f ( g ( x ) ) y=f(g(x)) y=f(g(x))是定义在 X X X上的函数, 称为 f f f g g g复合函数, 有时也记为 f ∘ g f \circ g fg, u u u称为中间变量.

定义2-7 反函数 设函数 f ( x ) f(x) f(x)是定义在 X X X上的函数, 如果对值域的每一个 y y y, 都有唯一的 x ∈ X x \in X xX, 使得 f ( x ) = y f(x) = y f(x)=y, 则这样定义的 x x x作为 y y y的函数, 称为 f f f的反函数, 记为 f − 1 f^{-1} f1, 即
f − 1 : y → x ,     i f   y = f ( x ) f^{-1}:y \rightarrow x, \ \ \ if \ y=f(x) f1:yx,   if y=f(x)

基本初等函数有为以下六种函数:

  1. 常值函数: y = c ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) y=c, \ x \in (-\infty,+\infty) y=c, x(,+)
  2. 指数函数: y = a x ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ,   ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=a^{x}, \ x \in (-\infty,+\infty), \ (a>0, a\neq1) y=ax, x(,+), (a>0,a=1)
  3. 对数函数: y = l o g a x ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ,   ( a > 0 , a ≠ 1 ) y = log_ax, \ x \in (-\infty,+\infty), \ (a>0, a\neq1) y=logax, x(,+), (a>0,a=1)
  4. 幂函数: y = x μ ,  where  μ ≠ 0 y=x^{\mu}, \ \text{where} \ \mu \neq 0 y=xμ, where μ=0
  5. 三角函数: { y = sin ⁡ ( x ) ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) y = cos ⁡ ( x ) ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) y = tan ⁡ ( x ) ,   x ≠ k π + π / 2 ,   k = 0 , ± 1 , ± 2... y = cot ⁡ ( x ) ,   x ≠ k π ,   k = 0 , ± 1 , ± 2... \left\{ \begin{array}{l} y=\sin \left( x \right),\ x \in (-\infty,+\infty)\\ y=\cos \left( x \right),\ x \in (-\infty,+\infty)\\ y=\tan \left( x \right),\ x\neq k\pi+\pi/2, \ k=0,\pm1, \pm2...\\ y=\cot \left( x \right),\ x\neq k\pi, \ k=0,\pm1,\pm2...\\ \end{array} \right. y=sin(x), x(,+)y=cos(x), x(,+)y=tan(x), x=kπ+π/2, k=0,±1,±2...y=cot(x), x=kπ, k=0,±1,±2...
  6. 反三角函数: { y = arcsin ⁡ ( x ) ,   x ∈ [ − 1 , 1 ] ,   y ∈ [ − π 2 , π 2 ] y = arccos ⁡ ( x ) ,   x ∈ [ − 1 , 1 ] ,   y ∈ [ 0 , π ] y = arctan ⁡ ( x ) ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ,   y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y = arccot ( x ) ,   x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ,   y ∈ ( 0 , π ) \left\{ \begin{array}{l} y=\arcsin \left( x \right),\ x \in [-1,1], \ y\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\ y=\arccos \left( x \right),\ x \in [-1,1], \ y\in \left[0, \pi \right] \\ y=\arctan \left( x \right),\ x \in (-\infty,+\infty), \ y\in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ y=\text{arccot} \left( x \right),\ x \in (-\infty,+\infty), \ y\in \left( 0, \pi \right)\\ \end{array} \right. y=arcsin(x), x[1,1], y[2π,2π]y=arccos(x), x[1,1], y[0,π]y=arctan(x), x(,+), y(2π,2π)y=arccot(x), x(,+), y(0,π)

定义2-8 初等函数 由基本初等函数经四则运算和复合所得到的函数.

定理

定理2-1 f ( x ) f(x) f(x) X X X上有界的充要条件是: ∃ A , B \exists A, B A,B, 使得 A ≤ f ( x ) ≤ B A\leq f(x) \leq B Af(x)B.

定理2-2 严格单调函数必有反函数, 其反函数也是严格单调的.

特殊函数

符号函数
y = s i g n ( x ) = { 1 , x > 0 0 , x = 0 − 1 , x < 0 y=sign \left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1,&x>0\\ 0,&x=0\\ -1,&x<0\\ \end{array} \right. y=sign(x)=1,0,1,x>0x=0x<0

狄利克雷函数 D ( x ) D(x) D(x) y = D ( x ) = { 1 ,   x 是有理数 0 ,   x 是无理数 y=D(x) =\left\{ \begin{array}{l} 1,\ x\text{是有理数}\\ 0,\ x\text{是无理数}\\ \end{array} \right. y=D(x)={1, x是有理数0, x是无理数

黎曼函数 R ( x ) R(x) R(x) y = { 1 , x = 1 0 , x = 0 1 / q , x = p / q 0 , x ∉ Q ,   x ∈ [ 0 , 1 ] y=\left\{ \begin{array}{l} 1,&x=1\\ 0,&x=0\\ 1/q,&x = p/q \\ 0,&x \notin \mathbb{Q}\\ \end{array} \right. ,\ x\in \left[ 0,1 \right] y=1,0,1/q,0,x=1x=0x=p/qx/Q, x[0,1]

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