水平集Chan-Vese模型的变分法梯度下降

回顾：

在之前的水平集方法中，我们最后得出了一个能量泛函 如下：

不要出现误区，我们的目的是得到水平集函数 ，使整体能量泛函 最小化 ，这里水平集函数 的初始值是给定的，因为要有一个差不多的初始轮廓，初始轮廓是一个面就是 的初始值 （形式是一个和图像一样尺寸的矩阵，轮廓内数值为 1，轮廓外为 -1），就是要通过变分法梯度下降 ，一点一点的调整，最后得到一个个 ，使能量泛函 越来越趋近于极值 .（变分法梯度下降推导过程在这里）

再使用变分方程之前，要先了解几点：

关于泛函 中的  ：

 变分方程公式：

但是我们发现这里的 也就是水平集函数，但 参数是两个，所以我们使用的变分方程应该为：

在泛函 中 ：

 

利用变分公式，先算出     ：

 所以 ：

上式中：

所以完整的Chan-Vese模型的变分法梯度下降公式为：

应用方法与总结：

我们费了半天劲，求出了一个 ：

求出来这个差不多是 的式子有什么意义呢 ？我们其实就是用这个差不多为 的式子做梯度下降，一开始我们有一个和图像大小一样的水平集函数  ，我们设置一个偏小的步长，每次都让水平集函数（就是一个矩阵）加上这个步长 * ，经过一次次的迭代计算梯度下降，使得原本的水平集函数中的数值开始慢慢变化，逐渐演化到 水平面上方，最后取大于 的作为曲线的轮廓 （个人理解，若有错误请及时纠正！）