4.4 满秩分解

原理

  任意矩阵都有满秩分解Full rank factorization。也就是说不限于方阵，更不限于满秩矩阵。满秩分解用途很广，尤其是后期的对于广义逆的学习来说非常重要。
  首先要搞清楚什么是满秩分解full rank factorization，假设矩阵为$A$,它的秩为$r$，满秩分解就是分解为如下两个矩阵相乘：
$$A^{m\times n}=B^{m\times r}{C}^{r\times n}$$
  要求就是B和C的秩都是$r$，也就是说$B$是列满秩，$C$是行满秩。
  那么怎么进行满秩分解呢？只需要用到初等含变换就行了。将矩阵通过初等行变换变成拟Hermite标准型H。那么问题来了，什么是拟Hermite标准型ansi Hermite canonical form？拟埃尔米特标准型的意思是第r行以下全是0，并且存在r列，这r列是单位矩阵的列。如果这r列的组成单位矩阵是顺序的，那么就是埃尔米特标准型。
  得到了拟埃尔米特标准型H之后，H的前r行就是B矩阵，原矩阵组成单位矩阵的列，按单位顺序排好就是C矩阵。满秩分解就完成了，所以也挺简单的。

举例

  我们以一个$4\times 5$矩阵开始：
( 3 1 0 − 1 1 0 1 1 0 2 1 − 1 − 1 2 − 1 7 2 0 0 3 ) ∼ ( 1 1 3 0 − 1 3 1 3 0 1 1 0 2 0 − 4 3 − 1 7 3 − 4 3 0 − 1 3 0 7 3 2 3 ) ∼ ( 1 0 − 1 3 − 1 3 − 1 3 0 1 1 0 2 0 0 1 3 7 3 4 3 0 0 1 3 7 3 4 3 ) ∼ ( 1 0 0 2 1 0 1 0 − 7 − 2 0 0 1 7 4 0 0 0 0 0 ) B = ( 3 1 0 0 1 1 1 − 1 − 1 7 2 0 ) C = ( 1 0 0 2 1 0 1 0 − 7 − 2 0 0 1 7 4 ) \begin{pmatrix}3 & 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2\\ 1 & -1 & -1 & 2 & -1\\ 7 & 2 & 0 & 0 & 3\\ \end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1 & \frac13 & 0 & -\frac13 & \frac13\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & -\frac43 & -1 & \frac73 & -\frac43\\ 0 & -\frac13 & 0 & \frac73 & \frac23\\ \end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac13 & -\frac13 & -\frac13\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & \frac13 & \frac73 & \frac43\\ 0 & 0 & \frac13 & \frac73 & \frac43\\ \end{pmatrix}\\ \sim \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -7 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 7 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\\ B= \begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1\\ 7 & 2 & 0\\ \end{pmatrix}\\ C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -7 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 7 & 4\\ \end{pmatrix}\\ ​3017​11−12​01−10​−1020​12−13​ ​∼ ​1000​31​1−34​−31​​01−10​−31​037​37​​31​2−34​32​​ ​∼ ​1000​0100​−31​131​31​​−31​037​37​​−31​234​34​​ ​∼ ​1000​0100​0010​2−770​1−240​ ​B= ​3017​11−12​01−10​ ​C= ​100​010​001​2−77​1−24​ ​

Python代码

  我是用直接把前r列化成单位矩阵的方法得到埃尔米特标准型，这样计算比较机械，也容易实现，代码如下：

    # 矩阵的满秩分解
    def full_rank_factorization(self):
        # 对第i列，第i行变1，其余行变0
        array = copy.deepcopy(self.__vectors)
        m = len(self.__vectors[0])
        n = len(self.__vectors)
        r = min(m, n)
        # i 是列
        for i in range(r):
            # 先处理对角线元素
            # 近似为0
            if abs(array[i][i]) < MAX_ERROR:
                break
            row_times(array, i, 1 / array[i][i])

            # 是行
            vector = array[i]
            for j in range(m):

                if i == j:
                    continue
                # 处理非对角线元素，就变成0吧
                row_times_add(array, i, -vector[j], j)
            print("~",Matrix(array).to_latex())
        rank = 0
        # 检查每一行是否全为0
        for i in range(m):
            if all_zero_row(array, i):
                continue
            rank += 1
        print(Matrix(array).to_latex())
        b = Matrix(self.__vectors[0:rank])
        c = Matrix(first_rows(array, rank))
        return b, c