python离散数据傅里叶变换公式_使用python实现离散时间傅里叶变换

我们经常使用傅里叶变换来计算数字信号的频谱，进而分析数字信号，离散时间傅里叶变换的公式为：

X(ejw)=∑n=−∞n=+∞x[n]e−jwn X ( e j w ) = ∑ n = − ∞ n = + ∞ x [ n ] e − j w n

可是自己动手实现一遍才是最好的学习。

在数字分析里面，傅里叶变换默认等时间间隔采样，不需要时间序列，只需要信号数组即可分析。

分析过程如下：

1. 对于含有 n 个样本值的数字信号序列，根据奈奎斯特采样定律，包含的周期数最大为n/2,周期数为 0 代表直流分量。所以，当周期数表示为离散的0,1,2,3…n/2，总的数目为

n/2+1个

2. 傅里叶变换之后的结果为复数， 下标为k的复数a+b*j表示时域信号中周期为N/k个取样值的正弦波和余弦波的成分的多少， 其中a表示cos波形的成分，b表示sin波形的成分

3. 首先产生一个长度为n,一倍周期的

e−jwn e − j w n (即为

cos(wn)−jsin(wn) c o s ( w n ) − j s i n ( w n ) )波样本序列.

1. 将数字信号序列中的每一个样本与1倍周期的样本波形序列相乘，得到n个乘积，将n个乘积相加，放入f[1]中。

1. 再产生一个长度为n,两倍周期的

e−jwn e − j w n (即为

cos(wn)−jsin(wn) c o s ( w n ) − j s i n ( w n ) )波样本序列,再将数字信号序列中的每一个样本与2倍周期的样本波形序列相乘，得到n个乘积，将n个乘积相加，放入f[2]中。依次重复。

1. 对于0倍周期，即直流分量来说，可以认为产生的是0倍周期的样本波形，重复操作，放入f[0]即可。

1. 这样就得到了数字信号序列的傅里叶变换

使用方法：

从以上过程得到数字序列的傅里叶变换之后，如果想要得到真正频谱，还需要做处理：

1. 计算出的每一个频率下的幅值需要除以时间序列的长度，类似求平均的过程

2. 每一个频率下的幅值是一个复数，需要对它求模，而且因为在负频率处也有值，所以需要对于实信号需要乘2

3. 频率的序列为0到采样率的一半，长度为n/2+1

完整程序：

# 离散时间傅里叶变换的python实现

import numpy as np

import math

import pylab as pl

import scipy.signal as signal

import matplotlib.pyplot as plt

sampling_rate=1000

t1=np.arange(0, 10.0, 1.0/sampling_rate)

x1 =np.sin(15*np.pi*t1)

# 傅里叶变换

def fft1(xx):

# t=np.arange(0, s)

t=np.linspace(0, 1.0, len(xx))

f = np.arange(len(xx)/2+1, dtype=complex)

for index in range(len(f)):

f[index]=complex(np.sum(np.cos(2*np.pi*index*t)*xx), -np.sum(np.sin(2*np.pi*index*t)*xx))

return f

# len(x1)

xf=fft1(x1)/len(x1)

freqs = np.linspace(0, sampling_rate/2, len(x1)/2+1)

plt.figure(figsize=(16,4))

plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')

plt.xlabel("Frequency(Hz)")

plt.ylabel("Amplitude($m$)")

plt.title("Amplitude-Frequency curve")

plt.show()

plt.figure(figsize=(16,4))

plt.plot(freqs,2*np.abs(xf),'r--')

plt.xlabel("Frequency(Hz)")

plt.ylabel("Amplitude($m$)")

plt.title("Amplitude-Frequency curve")

plt.xlim(0,20)

plt.show()

此处实现的是传统的傅里叶变换，这种方法实际已经不用了，现在使用快速傅里叶变换，其实两种是等价的，但是快速傅里叶变换时间复杂度要小很多。