数学建模-第三章：基于数据的建模方法

数据拟合

线性拟合

• 观察数据特征：接近线性规律

n次多项式拟合

• 幂次不宜过高
• 局限性
  • 最高幂次为偶数
    • 系数为正 往前趋于正无穷，往后亦然
    • 系数为负 往前趋于负无穷，往后亦然
  • 最高幂次为奇数
    • 系数为正 往前趋于正无穷，往后趋负无穷
    • 系数为负 往前趋于负无穷，往后趋正无穷
  • 不能保证经过已知结点

其他数据拟合方法

• 指数函数拟合
• 傅里叶变换算法：数据有明显波动特征
• x与y关系更复杂，可以做变换
• 依据：参考文献；机理分析，或者观察数据，提出假设再检验

插值方法

• 基于数据的建模方法

插值方法的使用对象

• 只能在一些节点采样，比如检测空气，土壤污染

插值法原理

• 已知在互不相同的多个点x1,x2…xn处，函数y=f(x)分别取到函数值y1,y2…yn，构造一个最高不超过n的多项式y=Ln(x)，使其穿过每一个点，用Ln(x)的值作为f(x)近似值，这种方法称为插值法
• 多项式称为插值函数/n次拉格朗日插值多项式
• 将各值代入多项式得到方程组，求解矩阵得到各项系数

分段线性插值

• 已知结点的个数n可能很大，但是插值函数最高次并非越大越好。
• 多数情况下，将相邻两点用直线相连，两点间的函数值用该直线方程给出，插值的效果表现很好

三次样条插值

• 分段线性插值所得折线可逼近真实函数，但节点处不够光滑
• 用三次多项式连接两个结点，通过调节多项式的系数，使得分段多项式在每个节点处二阶可导

分段三次多项式插值

二维插值方法-节点均匀

• 已知z=f(x,y) 在一些节点取值，节点分布很均匀，落在由一系列平行直线所组成的矩形网络的各个节点上

二维插值方法-节点不均匀

插值法特点

1. 根据数据做预测，或者根据局部情况估计整体分布
2. 图形化呈现计算结果

• 缺点：不能给出明确的函数关系，一般对于数据的概括性描述，从中发现分布特征