通俗理解神经网络BP传播算法

在学习深度学习相关知识，无疑都是从神经网络开始入手，在神经网络对参数的学习算法bp算法，接触了很多次，每一次查找资料学习，都有着似懂非懂的感觉，这次趁着思路比较清楚，也为了能够让一些像我一样疲于各种查找资料，却依然懵懵懂懂的孩子们理解，参考了梁斌老师的博客BP算法浅谈（Error Back-propagation）（为了验证梁老师的结果和自己是否正确，自己python实现的初始数据和梁老师定义为一样！），进行了梳理和python代码实现，一步一步的帮助大家理解bp算法！

为了方便起见，这里我定义了三层网络，输入层（第0层），隐藏层（第1层），输出层（第二层）。并且每个结点没有偏置（有偏置原理完全一样），激活函数为sigmod函数（不同的激活函数，求导不同），符号说明如下：

对应网络如下：

其中对应的矩阵表示如下：

首先我们先走一遍正向传播，公式与相应的数据对应如下：

那么：

同理可以得到:

那么最终的损失为:

我们当然是希望这个值越小越好。这也是我们为什么要进行训练，调节参数，使得最终的损失最小。这就用到了我们的反向传播算法，实际上反向传播就是梯度下降法中（为什么需要用到梯度下降法，也就是为什么梯度的反方向一定是下降最快的方向，我会再写一篇文章解释，这里假设是对的，关注bp算法）链式法则的使用。

下面我们看如何反向传播

根据公式，我们有：

这个时候我们需要求出C对w的偏导，则根据链式法则有

上面插入sigmod函数求导公式：

（在这里我们可以看到不同激活函数求导是不同的，所谓的梯度消失，梯度爆炸如果了解bp算法的原来，也是非常容易理解的！）
同理有

到此我们已经算出了最后一层的参数偏导了.我们继续往前面链式推导：

我们现在还需要求:

下面给出其中的一个推到，其它完全类似

同理可得到其它几个式子：

则最终的结果为：

再按照这个权重参数进行一遍正向传播得出来的Error为0.165

而这个值比原来的0.19要小，则继续迭代，不断修正权值，使得代价函数越来越小，预测值不断逼近0.5.我迭代了100次的结果，Error为5.92944818e-07（已经很小了，说明预测值与真实值非常接近了），最后的权值为：

好了，bp过程可能差不多就是这样了，可能此文需要你以前接触过bp算法，只是还有疑惑，一步步推导后，会有较深的理解。

下面给出我学习bp时候的好的博客

Backpropagation （里面的插图非常棒，不过好像有点错误，欢迎讨论~）

A Neural Network in 11 lines of Python (Part 1)（非常赞的博客，每个代码一行一行解释）

Neural networks and deep learning （很好的深度学习入门书籍，实验室力推！我有中文翻译版，欢迎留言）

上面实现的python代码如下：

import numpy as np

def nonlin(x, deriv=False):
    if (deriv == True):
        return x * (1 - x)   #如果deriv为true，求导数
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

X = np.array([[0.35],[0.9]])   #输入层
y = np.array([[0.5]])          #输出值

np.random.seed(1)

W0 = np.array([[0.1,0.8],[0.4,0.6]])
W1 = np.array([[0.3,0.9]])
print 'original ',W0,'\n',W1
for j in xrange(100):
    l0 = X                     #相当于文章中x0
    l1 = nonlin(np.dot(W0,l0)) #相当于文章中y1
    l2 = nonlin(np.dot(W1,l1)) #相当于文章中y2
    l2_error = y - l2
    Error = 1/2.0*(y-l2)**2
    print "Error:",Error
    l2_delta = l2_error * nonlin(l2, deriv=True)  #this will backpack
    #print 'l2_delta=',l2_delta
    l1_error = l2_delta*W1;    #反向传播
    l1_delta = l1_error * nonlin(l1, deriv=True)

    W1 += l2_delta*l1.T;        #修改权值
    W0 += l0.T.dot(l1_delta)
    print W0,'\n',W1
   

我也是在学习过程中，欢迎大家提出错误问题。真心希望加深大家对bp算法的理解。

知乎号：忆臻

文章收录于专栏地址：机器学习算法