浅谈博弈论

我们认为在当前局面下玩家无法操作的局面是失败局面

例题1:引入

有一堆 $n$ 个石子 , 现给定集合 $\{s_1...s_k\}$ , 每次可以取 $s_i(1\le i\le k)$ 颗 , 问先手是否必胜 $(n,k\le 1000)$

我们记 $f_x$ 表示 $x$ 颗石子的情况下 , 先手是否必胜

那么只要存在 $i$ 使得 $f_{x-s_i}$ 为 $false$ , 先手就可以拿走 $s_i$ 颗石子 , 使对手遇到 $f_{x-s_i}$ 的局面 , 从而取胜

int dfs(int x)
{
	if(x==0) return 0;
	if(mem[x]) return f[x];
	mem[x] = 1;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		if(x>=s[i])  f[x] |= (!dfs(x-s[i]));
	}
	return f[x];
}

cout << dfs(n);

我们也可以将其看作是一个只有一个起点的有向图游戏 , 一开始是 $n$ , 边权为 $-s_i$

有向图游戏 : 在一个 $DAG$ 中，只有一个起点，上面有一个棋子，两个玩家轮流沿着有向边推动棋子，不能走的玩家判负

Nim博弈

例题2 : Nim博弈模板

Nim游戏 : $n$ 堆石子 , 每堆 $a_i$ 个 , 每次从第 $i$ 堆取 $1$ 到 $a_i$ 个石子 , 问先手是否必胜 $(n,s_i\le 10^4)$

若我们延续 例题1 的思路 , 发现时间复杂度和空间复杂度都会很高 , 而此题有一个结论 :

当且仅当 $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n=0$ 时 , 先手无必胜策略

证明 :

• 结论1:
  当 $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n=0$ 时 , 无论怎样取 , 其异或和必不等于 $0$

  证明1:
  反证法 : 假设存在将第 $i$ 堆从 $a_i$ 取成 $a_i^{\prime }$ 的方案使得异或和为 $0$

  那么 , $a_1\wedge ...\wedge a_i^{\prime }\wedge ...\wedge a_n=0$ 且 $a_1\wedge ...\wedge a_i\wedge ...\wedge a_n=0$ , 得 $a_i=a_i^{\prime }$ 即取了 $0$ 颗 , 不合题意 , 矛盾

• 结论2:
  当 $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n\ne 0$ 时 , 总存在取法使得异或和变为 $0$

  证明2:有
  设 $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n=x$

  我们设 $x$ 二进制下最高位 $1$ 在第 $k$ 位 , 那么至少存在一堆石子 $a_i$ 的第 $k$ 位为 $1$ , 那么 $a_i\wedge x<a_i$ , 因此一定存在一个将 $a_i$ 取成 $a_i\wedge x$ 的方案从而使得异或和变为 $0$

因此在 $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n\ne 0$ 的局面下 , 先手可将局面变为异或和为 $0$ 的局面 , 而后手只能又将异或和变为非零 , 一直循环至全部取完

而全部取完时, $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n=0$ , 为必败局面 , 而只有后手才会遇到异或和为零的局面 , 因此先手在此情况下必胜 , 证毕.

	cin >> n;
	int sum = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin >> a[i];
		sum ^= a[i];
	}
	if(!sum) puts("No"); 
	else puts("Yes");

例题3: 取火柴(Nim博弈)

此题要求输出先手取胜策略的第一步

如上文分析 : 若 $a_1\wedge a_2\wedge .....a_n=x$ , 先手第一次取后应使得异或和变为 $0$ , 即将某个 $a_i$ 取成 $a_i\wedge x$

根据题目要求 , 找到 $i$ 最小的 $a_i\wedge x<a_i$ 即可

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SG定理

• 定义1: $mex$

  $mex(S)=min\{x\}$ ( $x$ 不属于 $S$ , $x$ 为非负整数)

• 定义2: 有向图游戏

  例题1 中已经阐释过 , 例题1 就是一个只有一个起点的有向图游戏

• 定义3: SG函数

  对于状态 $x$ 和他的所有 $k$ 个后继状态 $y_1...y_k$ , $SG(x)=mex\{SG(y_1),....SG(y_k)\}$

SG定理 而对于由 $n$ 个有向图游戏组成的组合游戏，设它们的起点分别为: $s_1,s_2,....s_n$ , 当且仅当 $SG(s_1)\wedge SG(s_2)\wedge ...\wedge SG(s_n)\ne 0$ 时 , 先手必胜

例题4 ：SG定理模板

$n$ 堆石子 , 分别为 $a_1,a_2...a_n$ , 给定 $\{s_1..s_k\}$ 每次只能取 $s_i$ 个

看作是一个 $n$ 个起点的有向图游戏 , 考虑使用 SG定理 , 求出每个起点的 $SG$ 即可 ( 这里是 $SG(a_1),SG(a_2)...SG(a_3)$ )

int dfs(int x)
{
	if(x==0) return 0; 
	if(mem[x]) return SG[x];
	mem[x] = true;
	bool v[105]; memset(v,0,sizeof(v));
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		if(x>=s[i]) v[dfs(x-s[i])] = 1;
	}
	int i = 0; while(v[i++]);
	return SG[x] = i-1; 
}

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