数学建模最小二乘法拟合_数学建模学习笔记(二)

五、插值与拟合

插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，但插值和拟合的近似要求不同，注意区分。

插值：在平面上给定一组离散点列满足函数

，要求一条近似曲线

来替代目标函数，且

近似曲线需经过所有已知数据点。

拟合：已知有限个离散数据点，求近似函数，但不要求过所有已知数据点，只要求在某种意义上满足在这些数据点上的总偏差最小。

左插值；右拟合

(图源:拟合与插值的区别？ - yang元祐的回答 - 知乎 )

5.1 插值方法

5.1.1 分段线性插值

分段线性插值把每两个相邻的节点用直线连接起来，由此形成的折线即分段线性插值函数，记作

。

的表达式为

,其中

分段线性插值的计算量小，节点数

越大，分段越多，插值误差越小。

5.1.2 拉格朗日插值多项式

拉格朗日插值函数的基本表达式与分段线性函数一致，

。

其基函数为：

即满足，

5.1.3 样条插值

样条插值函数

由每两个相邻数据点之间的样条函数

组成。

(1) 每两个相邻数据点之间的样条函数

均为

m次多项式，称组合成的样条插值函数为 m次样条插值函数。

(2) 样条插值函数

在插值区间上有m-1阶连续导数。(即连接点处光滑可导)

所以，注意到，分段线性函数是一次样条插值函数。

以三次样条插值函数为例，

且需满足：

5.1.4 插值工具箱

1. 一维插值函数

Matlab中现成的一维插值函数interp1,命令为

y 

其中:x0,y0是已知数据点；x是插值点；y是插值点的函数值。'method'指插值的方法，默认为线性插值：

'nearest'最近邻插值

'linear'线性插值

'spline'立方样条插值

'cubic'立方插值

所有插值方法要求x0单调，当x0等距时可使用快速插值，例如'*nearest'。

2.三次样条插值

Matlab中三次样条插值有如下函数：

y 

其中：x0,y0是已知数据点；x是插值点；y是插值点的函数值。

提倡使用csape函数，且csape函数返回值为pp，需要调用fnval()函数来求取插值点的函数值

详情查看"帮助"文档，doc csape。

3. 二维插值

所谓二维插值，则插值函数是二元函数，插值节点为二维变量，即曲面。

1）插值节点为网格节点

已知

个节点:

,

;

。求点

处的插值

。

Matlab中计算二维插值的命令为：

z 

其中：x0,y0分别为

维和

维向量，表示节点；z0为

矩阵，表示节点值；x和y为一维数组，表示插值点，x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，一个是列向量；z是矩阵，它的行数为y的维数，列数为x的维数，表示得到的插值；'method'的用法同上面的一维插值。

三次样条插值的二维插值命令为：

pp 

5.2 最小二乘法曲线拟合

5.2.1 线性最小二乘法

曲线拟合与插值不同，其要求寻求一个函数曲线

,使

在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其设拟合曲线函数为

式中：

为事先选定的一组线性无关的函数；

为待定系数

,且

。

已设定了拟合函数的形式，我们需要指定某种拟合准则，来衡量该函数与所有数据点的距离。

最小二乘法的拟合准则为使

与

的距离

的平方和最小。

则线性最小二乘法的数学模型表示为：

式(7)的优化问题可以很容易地通过极值的必要条件

,得到关于待定系数

的方程组求解。

关于拟合函数中的

函数的选取，通常为以下几类：

1）直线

2）多项式

3）双曲线(一支)

4）指数曲线

5.2.2 最小二乘法的Matlab实现

Matlab自带了

次多项式拟合的命令，其中

Matlab命令为：

a 

5.3 最小二乘优化

最小二乘优化问题的数学模型：

对于最小二乘优化问题，Matlab提供了多种函数供使用：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg。

5.3.1 lsqlin函数

求解

Matlab命令为：

x 

5.3.2 lsqcurvefit函数

给定输入输出数列xdata, ydata，求参量x，使得

Matlab中的函数为：

x 

其中：fun为定义函数

的M文件。

5.3.3 lsqnonlin函数

已知函数向量

,求

使得

Matlab中的函数为

x 

其中：fun是定义向量函数

的M文件。

5.3.4 lsqnonneg函数

求解非负的

，使得

Matlab中的命令为

x 

八、时间序列

将预测对象按时间顺序排列起来，构成所谓的时间序列，从这一组时间序列过去的变化规律中，推断今后变化的可能性及变化趋势、变化规律，就是时间序列预测法。

时间序列预测法：优点：简单易行，精度较好，易组合；缺点：不能反映事物的内在联系，不能分析两个因素的相关关系，只适用于短期预测。

8.1 确定性时间序列分析方法

一个时间序列往往是以下几种基本变化形式的叠加或耦合：

（1）长期趋势变动。指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，反映了客观事物的主要变化趋势。

（2）季节变动。

（3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。

（4）不规则变动。通常分为突然变动和随机变动。

用

表示

长期趋势项，

表示

季节变动趋势项，

表示

循环变动趋势项，

表示

随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种组合类型：

（1）加法模型：

（2）乘法模型：

（3）混合模型：

或

式中：

为观测目标的观测记录，均值

,方差

。

若预测时间内无突然变动，且随机变动的方差较小，则有理由认为，过去和现在的演变趋势将延续到未来。

下面介绍几种经验方法，来预测时间序列。

8.1.1 移动平均法

一次移动平均计算公式：

二次移动平均计算公式：

一次移动平均法的预测模型为：

趋势移动平均法的预测模型：

式中：

移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。

8.1.2 指数平滑法

指数平滑法可对各期观测值依照时间顺序进行加权平均作为预测值，且具有简单的递推形式。

指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。

1.一次指数平滑法

预测模型为：

直观上看，下一时刻的预测值为上一时刻预测值加上

倍上一时刻的预测误差。

展开来看：

式(18)表明，

为过去全部历史数据的加权平均，加权系数分别为

,等，且显然有：

由于该加权系数符合指数规律，且具有平滑数据的功能，故称之为指数平滑。

2.二次指数平滑法

二次指数平滑法即在一次平滑的基础上，把一次平滑的结果再作为新数据进行第二次指数平滑。

计算公式为

当时间序列从某时期开始具有直线趋势时，可用直线趋势模型

进行预测。