数据结构 图(Part III)

先来写一些概念：

AOV网：顶点表示活动，弧表示优先关系，不存在环，为DAG；

DAG：有向无环图；

如何判断一个有向图是否存在环(是否为DAG图)？

可以用dfs，如果深搜的过程中，搜索到了已经搜过的，那么就说明有环，不是DAG；

也可以用拓扑排序：

1. 拓扑排序

思路就是先建立邻接表，然后判断：如果该点入度为0则入队，并且该点所指向的点的入度减1，如果所指向的点的入度为0那么也入队，重复这个过程

struct EDGE{
	int to,next;
}edge[MAXN];
int in[MAXN],head[MAXN],cnt=0;
void add_edge(int u,int v){
	cnt++;
	in[v]++;   //表示入度++ 
	edge[cnt].to=v,edge[cnt].next=head[u],head[u]=cnt;
}
void topo(){
	queue Q;
	for(int i=1;i<=n;i++){		//n为顶点数 
		if(!in[i]) Q.push(i); 
	} 
	while(!Q.empty()){
		int x=Q.front();
        cout<

以上代码为输出拓扑序的代码，如果该输出没有包含所有的顶点，则说明该图存在环。

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再写一些概念：

AOE网：活动在边上，边的权代表活动持续的时间，顶点v表示事件(事件表示在它之前的活动完成)，同样也是DAG，不存在环。

缩短哪些活动，可以缩短整个工序的时间呢？

这些活动则被称为关键活动，而关键活动组成了关键路径。

下面再给出如何计算出关键活动：

ps:这公式也太糊了吧，我服了

   n为事件的个数，也指最后一个事件（该顶点出度为0）

事件最早开始的时间： 从前往后算，取最大值

事件最晚开始的时间： 从后往前推，取最小值

活动最早开始的时间：     直接等于前面的事件最早开始时间

活动最晚开始的时间：

如果活动最早开始时间=活动最晚开始的时间，那么该活动就为关键活动。当然还有一个条件是最长的，关键路径不能有多条。

 以上都是为了求关键路径服务的，以下为关键路径的代码：

2. 关键路径

因为事件最晚开始的时间是从后往前推的，所以我们需要建立一个逆邻接表，即反向建边就可以啦。然后分别用两次拓扑排序，拓扑排序的同时将min_val和max_val，即事件的最早、最晚开始时间计算出来

输入：

第一行：图的顶点总数，边的总数

第二行开始：每条边的时间长度，格式为源结点   目的结点   长度

输出

第一行：第个顶点的最早开始时间

第二行：每个顶点的最迟开始时间

代码如下：

#include 
#include 
#define MAX 201
using namespace std;
int n,m;
struct EDGE{
	int to,next,w;
}edge[MAX],inv_edge[MAX];
int cnt=0,head[MAX],in[MAX],min_val[MAX];
int inv_cnt=0,inv_head[MAX],out[MAX],max_val[MAX];
void add_edge(int u,int v,int w){
	cnt++;
    edge[cnt].to=v,edge[cnt].w=w,edge[cnt].next=head[u],head[u]=cnt;
    in[v]++;
    inv_cnt++;
    inv_edge[cnt].to=u,inv_edge[cnt].w=w,inv_edge[cnt].next=inv_head[v],inv_head[v]=inv_cnt;
    out[u]++;
}
void topo(){
	queue Q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		min_val[i]=-1;
		if(!in[i]) Q.push(i),min_val[i]=0;
	}
	while(!Q.empty()){
		int x=Q.front();
		Q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
			int v=edge[i].to;
			in[v]--;
			min_val[v]=max(min_val[v],min_val[x]+edge[i].w);
			if(!in[v]) Q.push(v); 
		}
	}
}
void inv_topo(){
	queue P;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		max_val[i]=1e9;
	   	if(!out[i]) P.push(i),max_val[i]=min_val[i]; 
	}
	while(!P.empty()){
		int x=P.front();
		P.pop();
		for(int i=inv_head[x];i;i=inv_edge[i].next){
			int v=inv_edge[i].to;
			out[v]--;
			max_val[v]=min(max_val[v],max_val[x]-edge[i].w);
			if(!out[v]) P.push(v);
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i>u>>v>>w;
		u++,v++;
		add_edge(u,v,w);
	}
	topo();
	inv_topo();
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<

ps: 感谢npy的指导，不然不会TAT