Pandas 分析斐波那契数列模整数的周期问题

引言

在上一篇文章中我们提到，斐波那契数列模整数的周期即是 Pisano 周期。

例如斐波那契数列 $1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89\cdots$ 模 $2$ 的结果为 $1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1\cdots$ ，故模 $2$ 的 Pisano 周期为 $3$ 。我们不妨记斐波那契数列模 $n$ 的Pisano 周期为 $p(n)$ ，则 $p(2)=3$ 。

模 $3$ 的一个循环为：$1，1，2，0，2，2，1，0$ ，故 $p(3)=8$ 。

模 $4$ 的一个循环为：$1，1，2，3，1，0$ ，故 $p(4)=6$ 。

在作者 22 年 8 月的这篇文章中，我们探讨过如何计算 Pisano 周期的问题，得到了模 $1$ 万以内的素数的所有周期。但该方法并不十分有效，对于更大的整数范围将无能为力。

本文我们将首先改进前期文章Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题关于Pisano 周期的计算，并进一步通过 Pandas 数据分析，来回答该文最后的问题1和问题4。

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一、改进 Pisano 周期计算

首先通过观察知道，Pisano 周期始终以 $1、0$ 结束，而这正是我们可以计算模 $n$ 的循环的开始。以模 $2$ 为例，要求模 $2$ 的一个循环，可以按照公式进行：
$$0+1\equiv 1(mod2)$$ 其中 $0$ 是起始的前一个值，$1$ 是起始的当前值，用 $0+1$ 模 $2$ 得到模序列里的第一个值是 $1$ 。并更新此时的前一个值为上一次的当前值 $1$ ，此时的当前值为上面算出来的值 $1$ 。

下一步则继续按公式计算（也就是前一个值与当前值的和再模 $2$）：
$$1+1\equiv 0(mod2)$$ 则得模序列里的第二个值 $0$ 。再次更新此时的前一个值为上一次的当前值 $1$ ，此时的当前值为算出来的值 $0$ 。

接下来我们有：
$$1+0\equiv 1(mod2)$$ 则得模序列里的第三个值 $1$ 。并更新此时的前一个值为上一次的当前值 $0$ ，此时的当前值为算出来的值 $1$ 。

由于此步的前一个值 $0$ 和 当前值 $1$ 与起始的前一个值和起始的当前值重合，说明我们刚刚经历了一次完整的模 $2$ 的 Pisano 周期。由于进行了 $3$ 次计算，因此模 $2$ 的 Pisano 周期 $p(2)=3$ 。

结合上面的算法思想，我们写成下述 Python 代码来实现模任意整数 Pisano 周期的快速计算：

def pisanoPeriod(n):
    previous, current = 0, 1
    for i in range(0, n * n):
        previous, current = current, (previous + current) % n

        if (previous == 0 and current == 1):
            return i + 1

这个方法摈弃了预先计算斐波那契数列的过程，计算速度明显更快。

在上述代码的循环中，循环次数的上限取值为 $n^2$ 是有理论依据的。我们先给出下述定理，出处见 Problems and Solutions: Solutions: E3410 。

定理1    \; 关于 Pisano 周期，我们有 $p(n)\le 6n$ ，等号成立当且仅当 $n=2\cdot 5^r$ ，其中 $r\ge 1$ 。如果 $n$ 不是 $2\cdot 5^r$ 的形式，则 $p(n)\le 4n$ 。

定理1中的上界 $6n$ 在 $n\ge 6$ 时，是满足 $6n\le n^2$ ，且易验证，当 $n\le 5$ 时，$p(n)<n^2$ ，故在代码中，我们取循环的上界为 $n^2$ 是合理的。实际上，这个循环往往小于 $n^2$ 次。

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二、计算 Pisano 周期的循环节

有了关于 Pisano 周期的计算，我们可以很方便地计算 Pisano 周期的循环节。Python 代码如下：

m = 5
p = pisanoPeriod(m)
for n in range(1, p+1):
    print(fibonacciModulo(n, m))

通过计算，我们得到模 $5$ 的 Pisano 周期的循环节为：
$$1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0$$ 显然 $p(5)=20$ 。

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三、快速计算任意斐波那契数模 $m$ 的余数

假设我们计算 $F_{2023}$ 模 $5$ ，实际上有如下性质可以简化计算：
$$F_{2023}\equiv F_{2023(modp(5))}\equiv F_3\equiv 2(mod5)$$ 一般地，我们有结论：

定理2    \; 斐波那契数 $F_n$ 模 $m$ 的余数计算如下： $$F_n\equiv F_{nmodp(m)}(modm)$$

结合上面定理，我们可以类似地写出如下计算 $F_n$ 模 $m$ 的 Python 代码：

def fibonacciModulo(n, m):
    # 计算更小的下标 n
    n = n % pisanoPeriod(m)

    previous, current = 0, 1
    
    if n==0:
        return 0
    elif n==1:
        return 1
    for i in range(n-1):
        previous, current = current, previous + current

    return (current % m)

fibonacciModulo(12345678901, 2023)

经计算可得 $F_{12345678901}\equiv 2007(mod2023)$ 。

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四、计算模 100 万以内的 Pisano 周期

实际上我们可以直接给出下述代码：

# 产生模 100 万以内的 Pisano 周期
p = []
for i in range(2, 1000001):
    p.append(pisanoPeriod(i))

with open("period.txt","w") as f:
    f.write(str(p))

经过大约八九个小时的计算，我们可以得到最后的结果，并保存为一个 6.91 MB 的文件 period.txt 。模 100 万以内的 Pisano 周期的起始部分截图如下：

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五、Pandas 分析 Pisano 周期数据

5.1 分析 Pisano 周期

我们先创建一个以模数为第一列，Pisano 周期为第二列的的 DataFrame：

import pandas as pd

a = [i for i in range(2, 1000001)]
c = {'Order' : a,
     'Period' : p}

data = pd.DataFrame(c)

接着根据周期排序：

data.sort_values(by="Period", ascending=False)

得到如下结果：

可知模 100 万以内的整数，当模数 $m=781250$ 时，Pisano 周期最大，最大周期为 $p(781250)=4687500$ 。实际上，$p(781250)=6\times 781250$ ，正好满足 $6$ 倍关系，此时 $781250=2\cdot 5^8$ ，满足定理1。

$468.75$ 万的周期，我们可能觉得太不可思议了。然而更有
$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}p(n)=\infty$$ 接着可以按照周期排序：

data_ascending = data.sort_values(by="Period", ascending=True)
data_ascending.head(20)

将 Pisano 周期绘制成散点图：

import matplotlib.pyplot as plt

x = [i for i in range(1, 1000000)]
plt.figure(figsize=(10, 5), dpi=80)
plt.scatter(x, data_ascending['Period'], s=1)
plt.show()

如上所示，我们将 Pisano 周期按由小到大的顺序排列（重复周期值不去重），以该序列的顺序号为横坐标，最后形成一条规律的曲线（最后一个离群值除外）。

进一步表明，在按顺序排列的前 $60$ 万个周期，Pisano 周期的值增长缓慢；而在后 $40$ 万个周期，Pisano 周期值的增长越来越迅速，尤其在 $100$ 万的附近。

实际上，Pisano 周期超过 $100$ 万的数据相对较少，绝大部分的数据对应的 Pisano 周期都在 $100$ 万以下。我们对 Pisano 周期大于 $100$ 万的数据进行统计：

data_ascending[data_ascending['Period']>1000000].describe()

经过简单计算，发现 Pisano 周期大于 $100$ 万的数据共有 $44,204$ 个，仅占总体数据的 $4.42\%$ 。此部分数据 Pisano 周期的平均值为 $1,502,636$ ，中位数为 $1,389,560$。

反过来，Pisano 周期小于 $100$ 万的数据共 $955,795$ 个，占总体数据的 $95.58\%$ 。此绝大部分数据的 Pisano 周期的平均值仅为 $156,511$ ，中位数仅为 $60,816$。

现在我们改用将 ‘Order’ 字段作为横坐标，绘制 Order-Period 散点图如下：

plt.figure(figsize=(10, 5), dpi=80)
plt.scatter(data_ascending['Order'], data_ascending['Period'], 
            s=0.5, c='c')
plt.show()

我们进一步考虑上面的两根斜线：

x = [i for i in range(1, 1000000)]
plt.figure(figsize=(10, 5), dpi=80)
plt.scatter(data_ascending['Order'], data_ascending['Period'], 
            s=0.5, c='c')
plt.scatter(x, 3*np.array(x), s=0.5, c='m')
plt.scatter(x, 2*np.array(x), s=0.5, c='b')
plt.show()

对比发现，上面的红线和蓝线几乎就与之前的两根绿线重合。也就是说，$p(n)\le 3n$ 对绝大多数数据都是成立的。而且 Pisano 周期取值满足 $2n<p(n)\le 3n$ 的数据是稀疏的。同时，绝大部分数据是有一定规律的，它们应该满足 $p(n)=kn$ ，$k\le 3$ 的规律。

5.2 斐波那契幸运数字

现在我们来回答文章Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题中的问题4。也就是回答“当范围扩大到模 $1,000,000$ 以内的整数时，对应斐波那契数列的幸运数字是多少 ？” 因为比较容易，下面直接给出求解代码：

# 寻找 100 万以内的斐波那契幸运数字
data_ascending['Ratio'] = data_ascending['Order'] / data_ascending['Period']
data_ascending_ratio = data_ascending.sort_values(by="Ratio", ascending=False)

data_ascending_ratio.head(20)

很显然，模 $100$ 万以内的整数的斐波那契幸运数字是 $832,040$ ，其周期为 $60$ ，模数与周期的比率竟然达到了惊人的 $13867.33$ ！而在之前我们讨论的模 $1$ 万以内的素数的斐波那契幸运数字是 $9349$ ，其模数与周期的比率也才 $246.03$ 。

反过来，我们也可以求模 $100$ 万以内的整数的斐波那契霉运数字。代码如下：

data_ascending_ratio.tail(20)

由上结果可知，模 $100$ 万以内的整数的斐波那契霉运数字一共有 $8$ 个：
$$10、50、250、1250、6250、31250、156250、781250$$ 实际上，这些数字 $n$ 都满足 $p(n)=6n$ ，且构成公比为 $5$ 的等差数列。越往后面，对应的 Pisano 周期会非常之大。

5.3 满足特殊 Pisano 周期的整数模数

接下来我们求斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $2n+2$ 的 $n$ 的个数。

period_2n2 = data[2*data['Order']+2 == data['Period']]
period_2n2.head(20)

通过语句 ‘period_2n2.shape’ 得到 $30,917$ 个数 $n$ 满足模 $n$ 的周期为 $2n+2$ 。

同理，我们求斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $n-1$ 的 $n$ 的个数。

period_n1 = data[data['Order'] - 1 == data['Period']]
period_n1.head(20)

得到 $20,911$ 个数 $n$ 满足模 $n$ 的周期为 $n-1$ 。

5.4 考虑 $100$ 万以内的素数情形

现在我们会问，模 $100$ 万以内的素数的斐波那契幸运数字。这时候，需要一张 $100$ 万以内的素数表：

先导入该表：

prime = pd.read_csv(r"C:\Users\bigdata\Desktop\100万以内的素数.txt", 
                    sep=',', header=None).T
prime

再来重新构建模 $100$ 万以内的素数的 Pisano 周期表如下：

data_prime_order = pd.DataFrame()

for i in prime[0]:
    data_prime_order = data_prime_order.append(data[data['Order']==i], 
                                               ignore_index=True)

data_prime_order.head(20)

求得 $100$ 万以内全体 $78,498$ 个素数的周期。

5.5 模 $100$ 万以内的素数的斐波那契幸运数字

现在可以给出模 $100$ 万以内的素数的斐波那契幸运数字的计算：

data_prime_order['Ratio'] = data_prime_order['Order'] / data_prime_order['Period']
data_prime_order_ascending_ratio = data_prime_order.sort_values(by="Ratio", ascending=False)

data_prime_order_ascending_ratio.head(20)

可以知道，模 $100$ 万以内的素数的斐波那契幸运数字是 $514,229$ 其比率达到了 $4433$ ，但远不如 $832,040$ 的比率 $13,867$ 来得大。

5.6 满足特殊 Pisano 周期的素数模数

接下来我们求斐波那契数列模素数 $p$ 的周期为 $2p+2$ 的 $p$ 的个数。

period_2n2_prime = data_prime_order[2*data_prime_order['Order']+2 == 
                                    data_prime_order['Period']]
period_2n2_prime.head(20)

通过 ‘.shape’ 命令同样可以求得一共有 $30,917$ 个数 $p$ 满足模 $p$ 的周期为 $2p+2$ 。这与之前求得的模整数 $n$ 的情形得到的个数 $30,917$ 一致！

同理可求斐波那契数列模素数 $p$ 的周期为 $p-1$ 的 $p$ 的个数。

period_n1_prime = data_prime_order[data_prime_order['Order'] - 1 
                                   == data_prime_order['Period']]
period_n1_prime.head(20)

得到 $20,911$ 个数 $p$ 满足模 $p$ 的周期为 $p-1$ ，这又与之前求得的模整数 $n$ 的情形得到的个数 $20,911$ 一致！

进一步通过如下代码可以判断斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $2n+2$ 的全体 $n$ 与斐波那契数列模素数 $p$ 的周期为 $2p+2$ 的所有 $p$ 的是否完全一致：

(period_n1_prime['Order'].values == period_n1['Order'].values).all()

结果返回的是 True ，说明 $100$ 万以内，满足斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $n-1$ 的全体 $n$ 皆为素数。

同样验证另一部分：

(period_2n2_prime['Order'].values == period_2n2['Order'].values).all()

结果返回的也是 True ，说明 $100$ 万以内，满足斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $2n+2$ 的全体 $n$ 皆为素数。

我们引用一下文章Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题中的定理：

定理3    设 $\{F_n\}$ 为斐波那契数列， $p$ 为大于 $5$ 的素数，数列 $\mathcal{F}$ 为斐波那契数列 $\{F_n\}$ 模素数 $p$ 后的新数列，则当 $p=1,4\mathrm{mod}5$ 时，$\mathcal{F}$ 的周期为 $p-1$ 或 $p-1$ 的因子；当 $p=2,3\mathrm{mod}5$ 时， $\mathcal{F}$ 的周期为 $2p+2$ 或 $2p+2$ 的因子。

由上述定理，我们知道，还有一部分素数 $p$ ，使得斐波那契数列 $\{F_n\}$ 模素数 $p$ 的 Pisano 周期是 $p-1$ 或 $2p+2$ 的真因子。因此我们可以讨论模素数与模整数的情形是否也有两者一致的结果。

我们先讨论斐波那契数列 $\{F_n\}$ 模整数 $n$ 的周期是 $n-1$ 的真因子的情形：

period_mod_n1 = data[((data['Order']-1)%data['Period']==0) & 
                     (data['Period']!=data['Order']-1)]
period_mod_n1

结果显示有 $18352$ 个 $n$ 满足该情形。

然后讨论斐波那契数列 $\{F_n\}$ 模素数 $p$ 的周期是 $p-1$ 的真因子的情形：

period_mod_n1_prime = data_prime_order[((data_prime_order['Order']-1)%data_prime_order['Period']==0) & 
                                       (data_prime_order['Period']!=data_prime_order['Order']-1)]
period_mod_n1_prime

结果显示有 $18299$ 个 $p$ 满足该情形。对比模 $n$ ，发现两者不同，模 $n$ 时多包含了 $53$ 个合数模。例如 $n=999941=577\times 1733$ ，$p(999941)=1156$ ，仍然满足关系式 $p(n)|n-1$ 。不满足为素数的情形仅占 $53/18352\approx 0.29\%$ 。

另一面考虑斐波那契数列 $\{F_n\}$ 模整数 $n$ 的周期是 $2n+2$ 的真因子的情形：

period_mod_2n2 = data[((2*data['Order']+2)%data['Period']==0) & 
                      (data['Period']!=2*data['Order']+2)]
period_mod_2n2

结果显示有 $8498$ 个 $n$ 满足该情形。

最后讨论斐波那契数列 $\{F_n\}$ 模素数 $p$ 的周期是 $2p+2$ 的真因子的情形：

period_mod_2n2_prime = data_prime_order[((2*data_prime_order['Order']+2)%data_prime_order['Period']==0) & 
                                        (data_prime_order['Period']!=2*data_prime_order['Order']+2)]
period_mod_2n2_prime

结果显示有 $8370$ 个 $p$ 满足该情形。对比模 $n$ ，发现两者不同，模 $n$ 时多包含了 $128$ 个合数模。例如 $n=44=2^2\times 11$ ，$p(44)=30$ ，仍然满足关系式 $p(n)|2n+2$ 。不满足为素数的情形仅占 $128/8498\approx 1.5\%$ 。

综上所述，依据定理3我们可以在此提出一个新猜测：

猜测1    \; 满足斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $n-1$ 的全体 $n$ 皆为素数；满足斐波那契数列模整数 $n$ 的周期为 $2n+2$ 的全体 $n$ 皆为素数；仅有少数的整数 $n$ ，虽然满足斐波那契数列模 $n$ 的周期为 $n-1$ 或 $2n+2$ 的真因子，但它们是合数（绝大部分是素数）。

其中唯独素数 $5$ 比较特殊，其不满足猜测1，是因为定理3是排除了 $5$ 了的。$5$ 的 Pisano周期不属于上述任何一个情形，而小于 $5$ 的素数 $2$、$3$ 却是符合上述猜测的。

5.7 基于特殊 Pisano 周期的素性判定新方法

基于上述猜测1，我们可以给出整数 $n$ 的素性判定的新方法：

n = 23456789
if pisanoPeriod(n) == 2*n+2:
    print(f'{n} 是素数')
elif pisanoPeriod(n) == n-1:
    print(f'{n} 是素数')
elif ((2*n+2)%pisanoPeriod(n)==0) or ((n-1)%pisanoPeriod(n)==0):
    print(f'{n} 是概率素数')
else:
    print(f'{n} 是合数')

得到的结果是：$23456789$ 是概率素数，依概率来看，$23456789$ 大概率是素数。我们再次经过 GP 语言验证，确定了 $23456789$ 是素数。

如果数字超过 $1$ 亿，计算的复杂度就会增加，因为此时 Pisano 周期的计算会比较慢。比如 $1234567891$ 的计算就要花几分钟。得到结果仍然为：$1234567891$ 是概率素数。再运用 GP 语言验证，同样确定了 $1234567891$ 是素数。

当 $n$ 取 $100,000,007$ 时，程序运行得到的结果为：$100000007$ 是素数。进一步验证该数也的确为素数。

结合定理3可知，除了 $5$ 以外，该方法判定出一个合数的结论是 $100\%$ 正确的，但也有小概率会得到一个合数是概率素数的情形，比如前面的 $999941$ ，被本程序判定为概率素数，但实际上它是一个合数。另一方面，基于前面的讨论，本程序在 $100$ 万以内判定是素数的结论也是 $100\%$ 正确的。

5.8 对往前文章提出问题的部分回答

现在我们来回答文章Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题中的问题1。

将范围扩大到模 $1,000,000$ 以内的素数，则一共有 $30,917$ 个模数 $p$ 满足周期等于 $2p+2$ 。有 $20,911$ 个模数 $p$ 满足周期等于 $p-1$ 。此时满足周期等于 $2p+2$ 或 $p-1$ 的占比为 $(30917+26670)/78498\approx 0.733611$ 。

最后，我们讨论 $1$ 万以内、$10$ 万以内的幸运数字等情形，即回答问题4。

当模数小于 $1$ 万时：

data_less10000 = data[data['Order'] < 10000]
data_less10000.tail(10)

计算比率如下：

data_less10000['Ratio'] = data_less10000['Order'] / data_less10000['Period']

data_less_ascending_ratio = data_less10000.sort_values(by="Ratio", ascending=False)

data_less_ascending_ratio.head(20)

这表明，模 $1$ 万以内 整数的斐波那契幸运数字仍然是 $9349$ ，也就是说与模 $1$ 万以内素数的斐波那契幸运数字是一致的！

通过与前面类似的计算，我们可以得到 $1$ 万以内一共有 $487$ 个模数 $p$ 满足周期为 $2p+2$ ，一共有 $322$ 个模数 $p$ 满足周期为 $p-1$ 。满足周期等于 $2p+2$ 或 $p-1$ 的占比为 $0.6582587469487388$ 。

进一步我们可以得到，$10$ 万以内一共有 $3803$ 个模数 $p$ 满足周期为 $2p+2$ ，一共有 $2553$ 个模数 $p$ 满足周期为 $p-1$ 。并且满足周期等于 $2p+2$ 或 $p-1$ 的素数占比为 $0.6626355296080066$ 。

$10$ 万以内模整数的幸运数字是 $64079$ ，比率是 $1393$ ；$10$ 万以内模素数的幸运数字是 $90481$ ，比率是 $870$ 。

我们发现，随着素数 $p$ 的取值范围的增加，满足 Pisano 周期等于 $2p+2$ 或 $p-1$ 的占比由 $0.658$ 、$0.663$ 直到 $0.734$ 呈逐渐递增的趋势，预示着此占比似乎应该有个极限。

至于还有没有跟 $9349$ 一样特殊的幸运数字（既是模整数又是模素数的幸运数字），这也是后续需要进一步验证的。