罗德里格公式推导

问题

已知一个向量$v$和一个旋转轴$\text{kˆ}$(单位向量)，$v$绕$\text{kˆ}$旋转$\theta$,求旋转后的向量$v_{rot}$$.

罗德里格公式

罗德里格公式可解决上述问题，公式为：
$$v_{rot}=\cos \theta v+(1-\cos \theta )(v\bullet \text{kˆ})\text{kˆ}+\sin \theta (\text{kˆ}\times v).$$

推导

上图中，$v$表示待旋转的向量，$k$表示旋转轴(单位向量)，$v_{\Vert }$表示$v$在$k$上的投影，$v_{\perp }$表示与$k$垂直的分量，$v$、$v_{\Vert }$、$v_{\perp }$、$k$在同一平面上，假设为$s_1$，$w$为$k$与$v$叉乘得到的向量，$w$与$s_1$垂直；$v_{rot}$为旋转后的向量，显然，其在$k$上的投影也为$v_{\Vert }$，假设与$k$垂直的分量为$v_{ro{t}_{\perp }}$，$v_{rot}$、$v_{\Vert }$、$v_{ro{t}_{\perp }}$、$k$也在统一平面，假设为$s_2$，则$s_1$与$s_2$的夹角为$\theta$.
由以上可知：
$$v=v_{\Vert }+v_{\perp }\Rightarrow v_{\perp }=v-v_{\Vert }\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$v_{\Vert }=(v\bullet k)k\text{\hspace{1em}(2)}$$
可得：
$$v_{\perp }=v-(v\bullet k)k\text{\hspace{1em}(3)}$$
又
$$v_{ro{t}_{\perp }}=\cos \theta \Vert v_{ro{t}_{\perp }}\Vert \bullet v_{\perp }/\Vert v_{\perp }\Vert +\sin \theta \Vert v_{ro{t}_{\perp }}\Vert \bullet w/\Vert w\Vert .\text{\hspace{1em}(4)}$$
公式$(4)$的意思是，$v_{ro{t}_{\perp }}$等于其在$v_{\perp }$方向的分量加上其在$w$上的分量。
因为$$\Vert v_{ro{t}_{\perp }}\Vert =\Vert v_{\perp }\Vert =\Vert w\Vert \text{\hspace{1em}(5)}$$
所以
$$v_{ro{t}_{\perp }}=\cos \theta v_{\perp }+\sin \theta w.\text{\hspace{1em}(6)}$$
公式$(5)$中$\Vert v_{ro{t}_{\perp }}\Vert =\Vert v_{\perp }\Vert$显而易见，现证明$\Vert v_{ro{t}_{\perp }}\Vert =\Vert w\Vert .$
$$k\times v_{\perp }=w\Rightarrow \Vert k\Vert \Vert v_{\perp }\Vert \sin (\pi /2)=\Vert w\Vert \Rightarrow \Vert v_{\perp }\Vert =\Vert w\Vert \text{\hspace{1em}(7)}$$
从而证明。

由
$$v_{rot}=v_{\Vert }+v_{ro{t}_{\perp }}\text{\hspace{1em}(8)}$$
代入公式$(2)(6)$可得：
$$v_{rot}=(v\bullet k)k+\cos \theta v_{\perp }+\sin \theta w\text{\hspace{1em}(9)}$$
代入公式$(3)$可得：
$$v_{rot}=(v\bullet k)k+\cos \theta (v-(v\bullet k)k)+\sin \theta (k\times v)\text{\hspace{1em}(10)}$$
化简得：
$$v_{rot}=\cos \theta v+(1-\cos \theta )(v\bullet k)k+\sin \theta (k\times v)\text{\hspace{1em}(11)}$$
得证。

参考文档

罗德里格公式推导及理解