18行列式及其性质

从此课开始，就进入了这门课的第二部分。迄今为止，已经学习了很多关于长方矩阵的知识，现在，把注意力转向方阵，探讨两个大的话题：行列式和特征值，需要行列式的重要原因是求特征值。

行列式是跟每个方阵都有关的数，每个方阵都有与其相关的行列式，一般记为 det A，或者写作
|A|。

行列式最早是应用在用来判断方程组是否有解，在矩阵被发明后，行列式就拥有了更多的性质和应用。行列式是一个神奇的数，一个数很难告诉你整个矩阵是什么样子的，但行列式把矩阵的尽可能多的信息就包含在其中了。

就比如，**矩阵可逆等价于行列式非零，行列式为零时矩阵是奇异的。**从另外一个角度来理解，行列式从某种程度上代表了这个矩阵的特征，这是学习特征分解的前置概念。

三个行列式基础性质

定义行列式的性质

• 性质1：对于单位矩阵I，有det I = 1。

• 性质2：交换行，行列式的值的符号会相反。
  

• 性质3：非常关键，将其分为3.a、3.b：
  （3.a）行列式按行提取出矩阵中的系数
  （3.b）行列式是一个线性函数，但这个线性单独反映在每一行上，也即：

推到出的性质

• 性质4：如果两行相等，那么行列式等于0.
• 性质5：从 行中减去第 行的 倍，行列式不变
• 性质6：如果方阵的某一行全为 ，那么其行列式值也为
• 性质7：上三角矩阵对应的行列式的值等于其对角线上元素的乘积
• 性质8：当且仅当A是奇异矩阵时, det A = 0；当且仅当A不可逆时，det A = 0。
• 性质9：det AB = (det A)(det B)。
• 性质10：det AT = det A 前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列

关于置换补充

任何一种置换都可区分奇偶。
对于一个矩阵，我通过 7次换行得到一种置换，那么同样可以通过21 或 23次换行得到甚至是 101次
的，不管具体是多少但这个置换一定是奇数次的而不会是偶数次的。
对于一个给定的矩阵，如果该矩阵是可逆的，那么该矩阵 7次行交换的结果，绝对不会与 10次行交换
的结果相同。这种置换的奇偶区分意味着行列式性质二是严谨且正确的，同时意味着行列式可以被严格
定义。