季节效应序列分析

一、导入数据

analy <- read.csv("D:\\季节效应.csv",header = T,row.names = 1,encoding = "UTF-8")
analy

二、时序图

analy1 <- ts(analy,start = c(1963,1),end = c(1976,12),frequency = 12)
plot(analy1)

根据时序图，该序列存在长期向上的趋势、季节性变化和随机波动的影响。随着趋势的递增，序列呈现出和季节变化相关的稳定周期性波动，应采用乘法模型。

三、趋势效应与季节效应的提取

Result1=decompose(analy1,type = "multiplicative")  #乘法模型
plot(Result1)

# 提取趋势效应
plot(Result1$trend)
abline(lm(Result1$trend~time(analy1)),col="2")   #选择2号颜色为趋势线标线

结论：总体递增

# 提取季节效应
sea=as.vector(Result1$seasonal)
sea=sea[1:12]
plot(sea,type = 'l')

结论：如图所示，2月份为最低点，6、7、8月份达到高峰值，存在明显季节性。
因此指数平滑模型选择Holt-Winters三参数指数平滑。

四、Holt-Winters三参数指数平滑

(加法模型)

H=HoltWinters(analy1,seasonal = "additive")  #seasonal = "additive"可省略，默认加法模型
H

结论：Xt+k=875.583001+1.971655k+Sj，k>=1

#手动预测：
xx1977.1=875.583001+1.971655*1-53.694536
xx1977.2=875.583001+1.971655*2-116.436891
xx1977.3=875.583001+1.971655*3-105.404840
xx1977.1
xx1977.2
xx1977.3

#系统预测
fore_H=forecast(H1, h=36)
fore_H

(乘法模型)

H1=HoltWinters(analy1,seasonal =  "multiplicative")  #乘法模型
H1

结论：xt+k=(875.5123349+1.9568538k)Sj

#手动预测
x1977.1=(875.5123349+1.9568538*1)*0.9301067
x1977.2=(875.5123349+1.9568538*2)*0.8613974
x1977.3=(875.5123349+1.9568538*3)*0.8741871
x1977.1
x1977.2
x1977.3

#系统预测
fore_H1=forecast(H1, h=36)
fore_H1

结论：乘法模型的预测效果优于加法模型。

plot(fore_H1)
lines(fore_H1$fitted,col=3)

五、ARIMA模型

5.1差分平稳化:

因原序列存在季节性和趋势性，对原序列做差分平稳化，使其转为平稳性模型。

Difference1=diff(analy1)   #一阶差分
plot(Difference1)

对原序列做1阶差分后，消除了递增的趋势。

D=diff(diff(analy1),12)    #一阶十二步差分
plot(D)

然后对1阶差分后的序列进行12步差分，消除了季节趋势。

5.2对差分后序列作平稳性检验

adf.test(D,nlag=3)

结论：p=0.01

5.3对差分后序列作白噪声检验

lag = c()  
Q.value = c()  
p.value = c()  
for(i in 1:12){  
  test = Box.test(D,lag=i,type="Ljung-Box")  
  lag[i] = i  
  Q.value[i] = test$statistic  
  p.value[i] = test$p.value  
}  
data.frame(lag=lag,Q.value=Q.value,p.value=p.value)

结论：差分后的序列为平稳非白噪声序列。

5.4模型识别

acf(D,lag.max=60)
pacf(D,lag.max=60)

结论：acf拖尾，pacf拖尾，12阶以内的ACF和PACF均不截尾，

故用ARMA(1,1)模型提取差分后序列的短期自相关信息

自相关系数1阶截尾，故用 ARMA(0,1)12 拟合季节自相关信息

偏自相关系数1阶截尾，故用 ARMA(1,0)12 拟合季节自相关信息

故模型识别为：ARIMA(1,1,1)X(0,1,1)12 和 ARIMA(1,1,1)X(1,1,0)12 或者ARIMA(0,1,6)X(0,1,1)12

5.5模型拟合与检验

(1)拟合ARIMA(1,1,1)X(0,1,1)12

fit_1<-arima(analy1,order=c(1,1,1),seasonal = list(order=c(0,1,1),period=12))
fit_1

检验模型ARIMA(1,1,1)X(0,1,1)12

ts.diag(fit_1)

(2)拟合模型ARIMA(1,1,1)X(1,1,0)12

fit_2=arima(analy1,order = c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1,1,0),period=12))
fit_2

检验模型ARIMA(1,1,1)X(1,1,0)12

ts.diag(fit_2)

结论：两个模型都不通过检验

(3)拟合模型ARIMA(0,1,6)X(0,1,1)12

fit_3=arima(analy1,order = c(0,1,6),seasonal=list(order=c(0,1,1),period=12))
fit_3

$\nabla {\nabla }_{12}$ $X_t$ =
(1-0.924B -0.0793$B^2$ -0.3075$B^3$ + 0.0590$B^4$ - 0.0684$B^5$ + 0.3202 $B^6$) * (1 - 0.4184 $B^{12}$)$e_t$

检验模型ARIMA(0,1,6)X(0,1,1)12

ts.diag(fit_3)

(4)拟合模型ARIMA(0,1,6)X(1,1,0)

fit_4=arima(analy1,order = c(0,1,6),seasonal=list(order=c(1,1,0),period=12))
fit_4

检验模型ARIMA(0,1,6)X(1,1,0)

ts.diag(fit_4)

(5)拟合模型ARIMA(3,1,2)X(1,1,0)

x4_fit<-arima(analy1,order=c(3,1,2),seasonal = list(order=c(1,1,0),period=12))
x4_fit

$\nabla {\nabla }_{12}$ $X_t$ = $\frac{1-1.7905B+0.7905B^2}{1-0.8229B-0.0030B^2+0.3107B^3}$*($1-0.4073B$)$e_t$

六、评判模型的相对优劣

data.frame(AIC(fit_1), AIC(fit_4), BIC(fit_1), BIC(fit_4))