4.8 QR分解四：向量方程法

算法

  除了三大主流算法外，还有向量方程法，向量方程法，顾名思义，就是通过解方程的方式求矩阵的QR分解。其原理是把矩阵$A$按列向量分块，得到一系列方程，首先有：
A = ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) Q = ( q 1 , q 2 , ⋯   , q n ) R = ( r 11 r 12 ⋯ r 1 n 0 r 22 ⋯ r 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ r n n ) ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) = ( q 1 , q 2 , ⋯   , q n ) ( r 11 r 12 ⋯ r 1 n 0 r 22 ⋯ r 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ r n n ) A=(\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_n)\\ Q=(\bold{q}_1,\bold{q}_2,\cdots,\bold{q}_n)\\ R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n}\\ 0 & r_{22} & \cdots & r_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn}\\ \end{pmatrix}\\ (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_n)=(\bold{q}_1,\bold{q}_2,\cdots,\bold{q}_n)\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n}\\ 0 & r_{22} & \cdots & r_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn}\\ \end{pmatrix} A=(a1​,a2​,⋯,an​)Q=(q1​,q2​,⋯,qn​)R= ​r11​0⋮0​r12​r22​⋮0​⋯⋯⋱⋯​r1n​r2n​⋮rnn​​​ ​(a1​,a2​,⋯,an​)=(q1​,q2​,⋯,qn​) ​r11​0⋮0​r12​r22​⋮0​⋯⋯⋱⋯​r1n​r2n​⋮rnn​​​ ​
  所以展开后就有以下向量方程：
$$\begin{gathered} r_{11}{\mathbf{q}}_1={\mathbf{a}}_1 \\ {r}_{12}{\mathbf{q}}_1+r_{22}{\mathbf{q}}_2={\mathbf{a}}_2 \\ ⋮ \\ {r}_{1n}{\mathbf{q}}_1+r_{2n}{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{nn}{\mathbf{q}}_n={\mathbf{a}}_n \end{gathered}$$
  这个向量方程要从上到下解。首先第一个方程貌似有很多未知数，但是要知道正交矩阵的列向量，长度必须为1的，也就是要单位化，那么${\mathbf{q}}_1$就是单位化后的${\mathbf{a}}_1$了。对于第二个方程，需要左乘${\mathbf{q}}_1^T$，方程就变成了：
$$r_{12}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_1+r_{22}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_2={\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{a}}_2$$
  因为正交矩阵的列之间互相正交，所以${\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_2$就是0了，于是有：
$$r_{12}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_1={\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{a}}_2$$
  这样就求出了$r_{12}$，再代入，继续求出$r_{22}$。对于最后一个方程：
$$r_{1n}{\mathbf{q}}_1+r_{2n}{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{nn}{\mathbf{q}}_n={\mathbf{a}}_n$$
  左乘${\mathbf{q}}_i^T$,得到：
$$\begin{gathered} r_{1n}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_1+r_{2n}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{in}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_i+\cdots +r_{nn}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_n={\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{a}}_n \\ \Rightarrow r_{in}{\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_i={\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{a}}_n \end{gathered}$$
  但是得不到$r_{nn}$，这个值需要前面的求出来后再代入，才能得到。代入公式为：
$$r_{nn}{\mathbf{q}}_n={\mathbf{a}}_n-r_{1n}{\mathbf{q}}_1-+r_{2n}{\mathbf{q}}_2+\cdots +r_{n-1,n}{\mathbf{q}}_{n-1}$$
  这个算法比较机械，也比较容易实现。但是仔细研究，就会发现，具体算法和施密特正交化差不多。事实上，QR分解是唯一的，四种算法分解的结果都是一样的。

Python代码

  知道了算法之后，直接写代码迭代就完事了。代码如下：

    # 向量方程法QR分解
    def qr_equations(self):
        n = len(self.__vectors)
        q = Matrix([None] * n)
        r = Matrix([[0] * n for _ in range(n)])
        # 按列循环
        for column in range(n):
            # 先将之前的列代入
            r_n = r.__vectors[column]
            for i in range(0, column):
                q_i = q.__vectors[i]
                a_n = self.__vectors[column]
                r_n[i] = inner_product(q_i, a_n) / vector_len(q_i)
            # 最后求得自己
            a_i = self.__vectors[column]
            for i in range(0, column):
                a_i = sub(a_i, mul_num(q.__vectors[i], r_n[i]))
            # 求rnn 与qn
            r_n[column] = vector_len(a_i)
            q_i = mul_num(a_i, 1/r_n[column])
            q.__vectors[column] = q_i
        return q, r

测试数据

  向量方程法，可以分解任意阶矩阵，不限于方阵，如以下矩阵的分解：
( 0 3 1 1 4 − 2 2 1 − 2 1 1 1 ) = ( 0 0.691 0.425 0.408 0.653 − 0.473 0.816 − 0.307 − 0.143 0.408 − 0.038 0.759 ) ( 2.449 2.858 − 2.041 0 4.34 − 0.038 0 0 2.415 ) \begin{pmatrix}0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & -2\\ 2 & 1 & -2\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0.691 & 0.425\\ 0.408 & 0.653 & -0.473\\ 0.816 & -0.307 & -0.143\\ 0.408 & -0.038 & 0.759\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2.449 & 2.858 & -2.041\\ 0 & 4.34 & -0.038\\ 0 & 0 & 2.415\\ \end{pmatrix} ​0121​3411​1−2−21​ ​= ​00.4080.8160.408​0.6910.653−0.307−0.038​0.425−0.473−0.1430.759​ ​ ​2.44900​2.8584.340​−2.041−0.0382.415​ ​