PID控制和误差曲线分析

PID控制模型

负反馈控制模型，到处都挺常见的，我记得高中的时候生物上就有一堆，什么体液调节之类的。PID控制也算是经典控制了，大家讲的都是经验之谈，这里我从误差曲线调节的角度来讲（误差曲线调节一般都是神经网络上谈的）。

PID模型

常分为位置式PID和增量式PID：

位置式：$out=K_p\ast e_k+K_i\ast \sum e_k+K_d\ast [e_k-e_{k-1}]$

简记$out=K_p\ast e_k+K_i\ast \sum e_k+K_d\ast e_k^{\prime }$

增量式：$out+=K_p\ast [e_k-e_{k-1}]+K_i\ast e_k+K_d\ast [e_k-2e_{k-1}+e_{k-2}]$

简记$out+=K_p\ast e_k^{\prime }+K_i\ast e_k+K_d\ast e_k^{\prime \prime }$

待控制系统

我这里将待控制系统的模型分为两类：孤立系统和耗散系统

下图中，为一个桶，红色的是目标高度，假设橙色液体是水

1、孤立系统：

这种系统的特性就是你加一滴水，他就有一滴水留存

2、耗散系统

这种系统的特性就是你加一滴水，这滴水会自己从底部漏完然后消失

模型输出使得误差曲线降为0

控制理论中，我们常用的说法是这样：将桶的水位控制到目标高度（红线）。

负反馈调节

如上图中，水位低于目标高度（负值）时，我们需要往桶里加水（正值），才能使得水位更接近于目标，这便是负反馈调节，我们的操作输出和系统实际状态是相反，两者此消彼长维持系统平衡。

误差控制

我们若假设实际误差为：$Er{r}_o=Observ-Target$，即实际误差 = 实际观测值 - 目标值 。
这样我们就不用关心正反馈还是负反馈了：

负反馈：$out=-Er{r}_o$
正反馈：$out=Er{r}_o$

需要注意的是，这里的误差和pid算法中的误差刚好是相反的

至此，控制算法模型摆脱实际问题，成为独立的数学模型：控制模型的输出是误差的函数

误差曲线

当我们人为操纵待控制系统时，它的误差就会随着变化，我们的目标就只有一个：控制模型输出使得误差为0。
对于之前所述的孤立系统而言，我们只要假设单次加水量$W_{add}$:

$W_{add}=-Er{r}_o$

水没达到标高，就多加点水，水高于标高，就倒出点水，慢慢的水位就可以到达标高了。

当然，还有一个细节问题，就是单位，量级问题，比如说我加水用的是单位是$m^3$，对于一个桶和一根管，横截面积不同，加相同水的影响就不同，我们可以增加一个系数k，通过调节系数使得实际影响相同：
$W_{add}=-k\ast Er{r}_o$

这样做必然是有好处的，我们只需研究一个标准系统，其余的系统我们可以通过调节k参数将其转化为标准系统的等效系统，这样就能将之前研究成果应用在新的系统上了。

对于耗散系统而言，我们若假设单次加水量$W_{add}$和之前一样，便会出现一个问题：

由于一直在漏水，达到平衡后将有：漏水量=加水量，由于漏水量不为0，所以必然有一个恒定误差，使得$W_{add}$不为0，也就是我们常说的净差

我们需要做的就是在输出中加上一个输出常数$C$，其值与漏水量相等，通过弥补常数抵消漏水影响，就可以使该系统转化为之前的孤立系统，剩下的和之前一样了
$W_{add}=-(k\ast Er{r}_o+C)$

这个常数$C$，我们是可以通过累计静态误差得到的，直到静态误差为0，累计值便不再增加：

$C=k_2\ast \sum e(t)$

$k_2$参数可以根据系统响应进行调整，若是系统响应的较慢，则参数应取较小值，若取太大了，使得$C$常数＞漏水量，输出就会产生一定的震荡区间，使得$C$常数有时＞漏水量，有时＜漏水量。

当然，通常会对$C项$进行积分限幅，比如漏水量最多不超过50，结果由于你的参数取太大了，导致算得C参数都为1000了，这样还会影响后续系统调整，导致调整滞后，引发系统进行发散式震荡。

输入与输出的区间映射

对于控制系统而言，一般采用离散输出，这里便存在一个分辨率的问题：

加上输出范围是[-1,0,1]三个值，而输入范围是[-2,-1,0,1,2]，系统必然是要震荡的

假设输出恒为1时，输入为2；输出为-1时，输入为-2。那么我若想让输入为-1，则输出必然是在0和1之间震荡的，按照一定概率比例的0和1组合才能实现。

之前在静态误差累计部分说到$k_2$参数若取的偏大，就会造成系统震荡，便是这个原因，$k_2$参数太大会使得输出分辨率降低。

对于一个要稳定控制的系统，其分辨率至少要保证控制系统输出分辨率 ≥ 控制系统输入分辨率

输出控制的频率

如果控制输出的频率太快了，比如说我往桶里倒水，结果我的水才刚倒出还飘在空中，我又进行下一次控制系统运算，采集得到的还是原来是量，这个就会产生滞后性，容易引发震荡（但可以通过降低控制系数来规避），所以控制频率最好根据被控系统的响应时间来估计一下。

如果控制太慢了，就会感觉到系统响应延迟，我设置目标值要好一会，才能到达状态。这就是控制模型和系统响应时间不匹配，产生的控制滞后了。