素数定理-欧几里得算法-乘法逆元

一、素数定理

          素数定理给出的是估计素数个数的方法：

          设π(x)是小于x的素数的个数，则

          π(x)≈x/lnx

          eg：

               64位二进制表示的素数的个数为

              

二、是否为素数的判定方法

(*)判断素数的必要条件

     (1)欧拉定理

           提及欧拉定理，需要先引出欧拉函数的定义：

           欧拉函数Φ(n)是定义在正整数上的函数，Φ(n)的值等于序列0,1,2,3,…,n-1中与n互素的数的个数

           欧拉函数的性质：

                   (1)m的素数时，有Φ(m)=m-1

                   (2)m=pq,且p和q均是素数时，有Φ(m)=Φ(p)Φ(q)=(p-1)(q-1)

                   (3)若m和n互素，则Φ(m×n)=Φ(m)×Φ(n)

                   (4)若p是一个素数，则Φ(p^e)=p^e-p^(e-1)

                   (5)

         由欧拉函数可以延伸出欧拉定理的内容：

                    欧拉定理:

                              对于任何互素的两个整数a和n，有

                                        1(mod n) 

                              如果n=p是素数,则有

                                        1(mod p)

                             显然欧拉定理可以看成是费马定理的推广形式。

                    欧拉定理可以用来简化幂的模运算

                    Eg：

                           求的后三位数字

                          解：     (mod 1000)的结果

                                 

                                       有(mod 1000)

     (2)费马定理

           如果p是素数，a是正整数，且gcd(a,p)=1，那么

                   1(mod p)

          另一种形式：

               如果p是素数，a是任意正整数，则对gcd(a,p)=1,有

                   (mod p)

     (3)二次探测定理

          如果p是一个素数，且0

          即如果符合1(mod p)，那么p很有可能是素数，但是仍不能肯定p就是素数。

(*)判断素数的充要条件

     (1)Wilson定理

          对于给定的正整数n，判断n是一个素数的充要条件是-1(mod n)。

          虽然是充要条件，且Wilson的定理有很高的的理论介质。因为带有阶乘，在检测的时候计算量大，不适合检测较大素数的检测。

     (2)米勒-拉宾算法

          米勒-拉宾算法是一个多项式算法，能以接近概率1保证判断结果的正确性。

          Miller-Rabin(n)

          把n-1写成，其中m是一个奇数

          选取随机整数a，使得

               (mod n)

               If(mod n)

                    Return (‘n是素数’)

               End

               For i=0到k-1

                    If b≡-1(mod n)

                         Return (‘n是素数’)

                    Else

                         b=b^2(mod n)

                    End

               End

                    Return(‘n是合数’)

三、求最大公约数算法-欧几里得算法

欧几里得算法描述：

          两个整数用a，b表示，商用q表示，余数用r表示

          Step1      取a，b较大者为a，较小者为b

          Step2      做除法，计算并保留余数r=mod(a,b)

          Step3      将原来的除数改做被除数，余数作为除数a=b,b=r

          重复Step1和Step2直到r=0,返回b

四、用欧几里得扩展算法求乘法逆元

乘法逆元的定义：

          假设gcd(a,n)=1,则存在整数s，使得(mod n)，即s是a(mod n)的乘法逆元素。

     关于ax+by=d

          设a和b是两个正整数(至少有一个非零)，d=gcd(a,b),则存在整数x和y使得ax+by=d成立，如果a、b互素，那 么存在整数x和y使得ax+by=1成立，此时可以求出ax≡1(mod b)中的x，即为逆元。

扩展欧几里得算法：

构造两个数列：

       

        Eg：

                 求28mod75的乘法逆元(a=75,b=28)

                      gcd(28,75)=1 所以存在逆元

                      75=2×28+19

                      28=1×19+9

                      19=2×9+1

                      9=9×1+0 

                      3×78+(-8)×28=1 

                      所以28mod75的乘法逆元为-8

五、中国剩余定理求解同余方程组

    中国剩余定理完整版

           Eg：

                   已知下列同余方程组，求解x

                   第一步：求M

                         M=2×3×5×7=210

                   第二步：求

                       

                   第三步：求

                        1(mod )(i=1,2,...,k)

                   第四步:

                         (mod M)

                         (105×1×1+70×1×2+42×3×3+30×4×5)(mod 210)

                         173(mod 210)