体散射·自由路径采样求散射点的方法
本篇文章主要介绍体散射自由路径采样，求散射点的方法，并对应给出ExposureRender绘制部分的相关代码。
要解决的问题：参与介质（体数据）的自由路径怎样通过采样的方法得到，如何计算参与介质内的交点
方法 ：woodcock追踪，可集成到蒙特卡罗算法中
适用情况 ：参与介质，包括最大衰减系数远大于大部分粒子的衰减系数的不均匀介质。
下面具体来看：
1. 自由路径的采样
- 光线衰减项
参与介质由于吸收或向外散射会产生衰减。参与介质沿光线p(s)方向衰减的辐射率为：
是衰减系数（extinction coefficient），定义了光子到达p点时光子与粒子碰撞的概率密度
- 光学深度和CDF
对衰减系数积分得到光学深度τ。含义：度量介质吸收辐射的能力
其中P（s’）是发生碰撞的位置，s’是自由路径,也就是我们要求的东西。
根据反演方法算出累积概率分布（mulative probability distribution，CDF）。
沿着光线p(s)方向的自由路径长度的CDF为
这里没看懂不影响文章主要思路的理解，只用知道这里给出了自由路径长度和光学深度的关系就行了。
均匀随机数r是以下等式的解：
如果介质是不均匀的，那它的衰减系数就不用只用一个常数来表示，但可以用当前位置对应的周围网格上的有限值来表示。这样的话，就引出了本篇文章的重点之一，就是怎么找到交点位置,先给出这个式子：
通常根据ray marching的路数，就是沿着光线方向，每次走一小步△s，看看累计和是否大于−log(1−r)，如果大于了，则这两步中间就包含着交点。
- Woodcock tracking
Woodcock用以下算法对自由路径进行采样：
（1）用最大衰减系数
产生一个路径长度s的试验值
（2）以概率
接受击中点
（3）击中点被拒绝，则不改变粒子方向，从刚才的试验点接着进行下一轮迭代
这个方法在下面这种情概况下会变得低效：最大衰减系数远大于区域内的衰减系数。这样的话分母变得比分子大很多，接受的概率就低，迭代次数就多。
本篇论文中，将woodcock tracking中的衰减系数拓展为任意上限函数。具体方法见下。
2. 本篇论文的算法
- 处理不均匀介质
处理方法：添加虚拟粒子。这个虚拟粒子是不影响计算的，因为它不改变散射方向和能量。通过添加虚拟粒子，可以将衰减系数简化为一个上限函数.这个衰减系数
等于虚拟粒子的衰减系数
加上介质本身的衰减系数 。这样，通过比率
和
就能知道击中虚拟粒子或者真实粒子的概率
- 虚拟粒子的自由路径采样
（1）用上限衰减函数产生路径长度s
（2）得到一个潜在散射点p，用概率估计是否击中的p点是虚拟点。如果是，则不改方向进行下次迭代。
看完处理的思路后再针对具体形式的上限函数来分析。
- 分段多项式形式的上限函数
还记得刚才讨论的式子吗：
得到它的解，就求出了自由路径的长度s
将这个式子变换一下得到
同样滴，就是要求这个式子里的s。论文假设上限函数是定义在一个低分辨率网格上的分段多项式。这是什么意思呢？看下figure 3.
意思就是说，正常的体素分辨率高些，比如左下角的红格子，而上限函数没有那么多值，他分布在大一些的黑色格子的角点上，如果要求格子中间的值，可以通过多项式插值得到。
通过执行3D DDA算法，能找到包含解的超像素。沿着光线，一个个地遍历超体素，每次都检查是否包含解，通过下面这个不等式来检查区间中是否有散射点：
这个式子是第i个超体素相交的射线段的光学深度，用来求出上边界的消光系数。
过程如图所示：
与Marchinng最大的不同，就是这里的步长
并不是一个常数。而是光线与超体素相交部分的长度，采样点Si在超体素的边界上。当在第n步时，不等式首次成立，表示找到了包含散射点的超体素，如fig4中的红点所示。通过下式，可以计算出散射点的自由路径长度s
右边通过计算均匀的采样r（一个随机数）和以前访问过的超级体素的光学深度得到。
给出单个超体素的示意图如fig5.
前方左下角的坐标全0，后方右上角的坐标全1.8个顶点上对应8个衰减系数，衰减系数的下标对应xyz的坐标值。光线从入口点e进入超体素，从出口点o射出。超体素内的点p满足下式：
其中 衰减系数是笛卡尔坐标的三变量多项式，是参数t的线性函数，可以表示为：
光学深度可以表示为：
通过带入末点
，在超体素i中从si到si+1的光学深度可以表示为
这里有点看不懂不影响，只是给出了光学深度的计算表达式，重点看下面的算法伪码。
- 算法细节
给出算法伪码：
分析：可以用嵌套循环实现上述过程。
（1）外层循环
决定当前击中点对应的是否是虚拟粒子。
参数准备：对光学深度（衰减系数的积分）进行采样，这个采样即通过rnd()函数产生一个均匀分布的随机数，再基于它计算。
判断：当内层循环因找到击中点而退出，需要判断这个击中点是否是虚拟粒子。根据之前提到的概率
来判断，如果产生的随机数大于Preal，即是真实散射点的概率小了，所以认为击中的是虚拟粒子，继续迭代。
（2）内层循环
3D DDA 在超体素网格遍历，判断是否有击中点。
访问超体素。首先初始化相关参数，初始位置即光线原点。
初始化：
出射点o设置为入射点的位置和参数，迭代中会将入点参数更新为出射点参数。出射点的光学深度就是从入射点开始在超体素中的累计和。
迭代：
如果超出了体的范围都没有找到交点，则返回“无散射点”
否则，计算下一个出射点o，拟合多项式，求和得到这一段的光学深度
.如果它小于
，即没有找到击中点，继续迭代。当它第一次大于 ，则找到击中点
由于看该篇论文的目的，主要是为了看懂ExposureRender软件的绘制代码，只仔细研究了上述内容。原论文[1]还有其他形式的光学深度的计算方法等内容，感兴趣的可以去看，这里就不展开了。
- 代码实现
以下代码摘自ExposureRender软件
DEV inline bool FreePathRM(CRay& R, CRNG& RNG)
{
const int TID = threadIdx.y * blockDim.x + threadIdx.x;
__shared__ float MinT[KRNL_SS_BLOCK_SIZE];
__shared__ float MaxT[KRNL_SS_BLOCK_SIZE];
__shared__ Vec3f Ps[KRNL_SS_BLOCK_SIZE];
if (!IntersectBox(R, &MinT[TID], &MaxT[TID]))
return false;
MinT[TID] = max(MinT[TID], R.m_MinT);
MaxT[TID] = min(MaxT[TID], R.m_MaxT);
const float S = -log(RNG.Get1()) / gDensityScale;
float Sum = 0.0f;
float SigmaT = 0.0f;
MinT[TID] += RNG.Get1() * gStepSizeShadow;
while (Sum < S)
{
Ps[TID] = R.m_O + MinT[TID] * R.m_D;
if (MinT[TID] > MaxT[TID])
return false;
SigmaT = gDensityScale * GetOpacity(GetNormalizedIntensity(Ps[TID]));
Sum += SigmaT * gStepSizeShadow;
MinT[TID] += gStepSizeShadow;
}
return true;
}代码分析：
（1）给出当前位置
这份代码是用cuda写的，方便做并行加速。不了解不影响。由于要遍历各个位置，发射光线，找交点，这里第一步就是给出当前遍历到的位置，即TID。
（2）判断光线是否在体内（intersectBox）
注意刚才算法伪码的内循环中有判断是否超出体，如果超出体范围还没有找到交点，就是当前光线上没有散射点。详细算法见《AABB包围盒与光线相交的检测算法》
（3）准备参数
计算采样值，即
，通过RNG产生一个均匀分布的随机数得到。min[TID]为光线上的位置，即在位置TID处发射一根光线，这根光线（o_start + t*direction）的参数t就是min[TID].
（4）迭代寻找击中点
注意这里有一个简化：体是一个均匀体，可用各向同性的相位函数表示，所以并不需要像论文中那样添加虚拟粒子，也就不需要外循环来判断击中点是否是虚拟粒子。
这里判断循环终止的条件即当前位置段是否包含击中点。sum就是光学深度的求和，当它第一次大于S时，即认为找到击中点。
Ps是当前的光线位置。如果光线位置超出范围为则跳出循环。否则对sum进行累计求和，并累加一个步长，走到下一个位置。
注意这里的光学深度实际上就是当前位置上的不透明度，而这个不透明度是该位置的强度值归一化后，通过不透明度传递函数计算出来的。这个传递函数可以理解为把强度值，转换成不透明度值的一个映射关系。
至此，如果找到击中点，则ps就是击中点位置
参考：
[1] Free Path Sampling in High Resolution Inhomogeneous Participating Media