希尔排序+堆排序简介与代码实现

希尔排序

简介

希尔排序是第一批冲破二次时间屏障的第一批算法，其使用比较相距一定间隔的元素来工作，各趟比较的距离随着算法的进行而减少，知道比较相邻距离的最后一趟排序为止。因此也叫做最小增量排序

希尔排序的最重要部分在于增量序列，即使用的距离序列$h_1,h_2,\cdots ,h_n$，其中只要$h_1=1$则希尔排序有效，但是增量序列的选择却是决定希尔排序时间复杂度的决定性因素。
希尔排序生效的还有一个重要前提是“$h_k$排序性”不变，此时后一次排序不会打乱前一次的排序结果。

序列选择

1.Shell序列

Shell序列指的是$h_t=[N/2]$和$h_k=[h_{k+1}/2]$的序列，使用该代码的希尔排序代码如下：

void sort(long long num[],int N){
	int i=N/2;
	while(i>=1){
		for(int j=0;j<i;j++){
			for(int k=j;k<N;k+=i){
				for(int m=k;m>j;m-=i){
					if(num[m]<num[m-i]){
						long long temp=num[m];
						num[m]=num[m-i];
						num[m-i]=temp;
					}
					else
						break;
				}
			}
		}
		i/=2;
	}
}

其最坏情形运行时间复杂度为$\Theta (N^2)$，只要令$N$为2的幂，并且使得当$h=2$时的两条序列都为单调序列但不相交，例如

1,9,2,10,3,11,4,12,...

此时，除了$h=1$以外的增量序列均不会对其排序，浪费大量时间，具体证明这里不再赘述。

2.Hibbard序列

void sort(long long num[],int N){
	int i=1;
	while(i<N){
	    i=2*i;
	}
	i=i/2-1;
	while(i>=1){
		for(int j=0;j<i;j++){
			for(int k=j;k<N;k+=i){
				for(int m=k;m>j;m-=i){
					if(num[m]<num[m-i]){
						long long temp=num[m];
						num[m]=num[m-i];
						num[m-i]=temp;
					}
					else
						break;
				}
			}
		}
		i=(i+1)/2-1;
	}
}

Hibbard序列使用的是形如$1,3,7,...,2^k-1$的增量序列，其最坏复杂度为$O(N^{\frac{3}{2}})$,证明不再赘述。

堆排序

堆排序是将优先队列用于排序的一种方法，简单来说，只要先对数组进行建堆操作建立最大堆，然后按顺序Delete Max即可。如果我们用一个新的数组去存取Delete得到的最大值，会导致其空间复杂度会达到$O(N)$。为了降低空间复杂度，我们会将堆的堆首元素与堆尾元素交换位置，然后使堆的大小减小一后调整堆为最大堆。
实现代码如下：

void percdown(long long a[],int i,int N){
    while(i<N){
        if(2*i+2<N){
            if(a[2*i+2]>a[2*i+1])
                if(a[2*i+2]>a[i]){
                    long long temp=a[i];
                    a[i]=a[2*i+2];
                    a[2*i+2]=temp;
                    i=2*i+2;
                }
                else
                    break;//break容易被忘记
            else
                if(a[2*i+1]>a[i]){
                    long long temp=a[i];
                    a[i]=a[2*i+1];
                    a[2*i+1]=temp;
                    i=2*i+1;
                }
                else
                    break;
        }
        else if(2*i+1<N){
            if(a[2*i+1]>a[i]){
                long long temp=a[i];
                a[i]=a[2*i+1];
                a[2*i+1]=temp;
                i=2*i+1;
            }
            else
                break;
        }
        else
        break;
    }
}
void sort(long long num[],int N){
    for(int i=N-1;i>=0;i--){
        percdown(num,i,N);
    }
    for(int i=0;i<N;i++){
        long long temp=num[0];
        num[0]=num[N-1-i];
        num[N-1-i]=temp;
        percdown(num,0,N-1-i);
    }
}

P1177【模板】快速排序

题目描述

利用快速排序算法将读入的 $N$ 个数从小到大排序后输出。

快速排序是信息学竞赛的必备算法之一。对于快速排序不是很了解的同学可以自行上网查询相关资料，掌握后独立完成。（C++ 选手请不要试图使用 STL，虽然你可以使用 sort 一遍过，但是你并没有掌握快速排序算法的精髓。）

输入格式

第 $1$ 行为一个正整数 $N$，第 $2$ 行包含 $N$ 个空格隔开的正整数 $a_i$，为你需要进行排序的数，数据保证了 $a_i$ 不超过 $10^9$。

输出格式

将给定的 $N$ 个数从小到大输出，数之间空格隔开，行末换行且无空格。

样例 #1

样例输入 #1

5
4 2 4 5 1

样例输出 #1

1 2 4 4 5

提示

对于 $20\%$ 的数据，有 $N\le 10^3$；

对于 $100\%$ 的数据，有 $N\le 10^5$。

AC代码如下

希尔排序

#include 
long long p[1000001];
void sort(long long num[],int N){
	int i=N/2;
	while(i>=1){
		for(int j=0;j<i;j++){
			for(int k=j;k<N;k+=i){
				for(int m=k;m>j;m-=i){
					if(num[m]<num[m-i]){
						long long temp=num[m];
						num[m]=num[m-i];
						num[m-i]=temp;
					}
					else
						break;
				}
			}
		}
		i/=2;
	}
}

int main()
{
 int n;
 scanf("%d",&n);
 for (int i = 0;i < n;i++)
 scanf("%lld",&p[i]);
 sort(p,n);
 for (int i = 0;i < n;i++)
 printf("%lld ",p[i]);
 return 0;
}

堆排序

#include 
long long p[1000001];
void percdown(long long a[],int i,int N){
    while(i<N){
        if(2*i+2<N){
            if(a[2*i+2]>a[2*i+1])
                if(a[2*i+2]>a[i]){
                    long long temp=a[i];
                    a[i]=a[2*i+2];
                    a[2*i+2]=temp;
                    i=2*i+2;
                }
                else
                    break;
            else
                if(a[2*i+1]>a[i]){
                    long long temp=a[i];
                    a[i]=a[2*i+1];
                    a[2*i+1]=temp;
                    i=2*i+1;
                }
                else
                    break;
        }
        else if(2*i+1<N){
            if(a[2*i+1]>a[i]){
                long long temp=a[i];
                a[i]=a[2*i+1];
                a[2*i+1]=temp;
                i=2*i+1;
            }
            else
                break;
        }
        else
        break;
    }
}
void sort(long long num[],int N){
    for(int i=N-1;i>=0;i--){
        percdown(num,i,N);
    }
    for(int i=0;i<N;i++){
        long long temp=num[0];
        num[0]=num[N-1-i];
        num[N-1-i]=temp;
        percdown(num,0,N-1-i);
    }
}

int main()
{
 int n;
 scanf("%d",&n);
 for (int i = 0;i < n;i++)
 scanf("%lld",&p[i]);
 sort(p,n);
 for (int i = 0;i < n;i++)
 printf("%lld ",p[i]);
 return 0;
}