数字华容道怎样才能有解

数字华容道,是在4x4的格子中,依次从左到右,从上到下放置1-15这15个数字。经过一定的随机,必须将这15个数字复原。每个数字只能向相邻的唯一空格移动。难度更高的,格子和数字会更多,比如5x5。

我在开发一个类数字华容道游戏时,发现自己3x3的格子,居然怎么都解不出来。比如:一排1、2、3,二排4、5、6,三排8,7。经过网上查询,才知道完全随机位置的数值华容道仅有50%的概率是有解的。而我就是用的完全随机方式去打乱次序。

网上有两篇文章说的很好,以下是根据这两篇文章的总结。

数字华容道必然有解的前提

首先,要弄清楚一个概念:逆序数。逆序数,即一个数字序列,将其中所有数字依次两两对比,若大数在前,小数在后,那么这就是一对逆序数。这里说到的逆序数,指的是数字序列中逆序数的数量。比如:上文提到的1、2、3、4、5、6、8、7,逆序数只有1个,即8和7。

另外,还有一点要提出来。一般来讲,复原状态(初始状态)的数字华容道,会有一个空格,一般会设置在最末行的右下角。但也可以根据实际的需求,设置在其他行。请留意,初始空格所在的行数,是决定是否有解的一个重要因素。

数字华容道,必然有解,只存在于如下3个细分情形:

  1. 若格子列数为奇数,则逆序数必须为偶数;
  2. 若格子列数为偶数,且逆序数为偶数,则当前空格所在行数与初始空格所在行数的差为偶数;
  3. 若格子列数为偶数,且逆序数为奇数,则当前空格所在行数与初始空格所在行数的差为奇数。

实际的推演涉及到我一时难以彻底理解的数学推算,我只能用浅显的方式来理解这个问题。

为什么?

首先,有解的前提在于:当前空格回到初始空格所在行数时,逆序数一定得是偶数!为什么,我不清楚。

要想把空格移动到初始空格所在行,必须进行若干次上下移动和若干次左右移动。

左右移动,不会改变逆序数;上下移动,若格子列数为奇数,则每次增减偶数个逆序数,若格子列数为偶数,则每次增减奇数个逆序数。

也就是说:

  1. 格子列数为奇数,怎么移动,都不会改变原始的逆序数。因为奇数加减偶数还是奇数,偶数加减偶数还是偶数。所以,只要保证逆序数是偶数即可,不必关心空格的位置。
  2. 格子列数为偶数,那么进行奇数次上下移动,会改变其逆序数的奇偶性。所以,如果当前逆序数是偶数,要想有解,就要保证实际上下移动会进行偶数次,也就是说空格所在行与初始空格所在行的差为偶数。
  3. 同理,若当前逆序数是奇数,要想有解,要进行奇数次的移动,才能保证最终逆序数是偶数。

如何转换逆序数奇偶性

具体实现应该很简单,不多说了,就说一点。如果想更改一个数字序列的逆序数的奇偶性,只需要调换一对逆序数的位置即可。

最后

可能是CS106A课程上的一句话,并不是原文:

程序员要在不理解内在实现逻辑的情况下,也能顺畅地使用别人的成果。

不理解没关系,会用就行。

参考文档:

  • https://www.guokr.com/article/54088/
  • 用React写一个数字华容道,你需要知道的秘密 - 地铁上的小前端 - SegmentFault 思否

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