数学基础--旋转矩阵的推导

1、简介

旋转矩阵的应用范围比较广，是姿态变换，坐标变换等的基础，由于考虑到IMU的融合需要用到旋转矩阵。因此，本文介绍一下旋转矩阵的推导过程。

2、推导过程

在介绍旋转矩阵之前，先介绍一下两个矩阵相乘的示意图如下图所示：

旋转矩阵的旋转其实包含两种意思，一是在同一个坐标系下，向量的旋转；二是坐标系的旋转，使得同一向量在不同的坐标系下有不同的坐标。

（1）二维向量旋转

如下图，XY坐标系中，向量OP旋转β角度到了OP’的位置：

根据三角函数关系，可以列出向量OP与OP’的坐标表示形式，对比上面个两个式子，将第2个式子展开：

用矩阵形式重新表示为：

这就是二维旋转的基本形式，中间的矩阵即二维旋转的旋转矩阵，坐标中的某一向量左乘该矩阵后，即得到这个向量旋转β角后的坐标。

（2）三维向量旋转

三维旋转可借助二维旋转来理解，由于三维空间中可以任意轴旋转，为方便分析与使用，只考虑绕X、Y、Z轴的旋转。

• 绕Z轴旋转：
  参照上面的图，添加一个Z轴，则上面的二维旋转实际上就是绕Z轴的三维旋转。
  
  照搬上面的推导公式，并添加Z坐标的变换关系(实际是没有变)，然后改写成矩阵形式，红色方框即为绕Z轴的旋转矩阵。
  
  同理可以得到绕X轴和绕Y轴旋转的旋转矩阵。
• 绕X轴旋转矩阵
  
• 绕Y轴旋转矩阵
  

（1）二维坐标系旋转

三维旋转同上。

参考文章：
《https://zhuanlan.zhihu.com/p/183973440》
《https://www.cnblogs.com/meteoric_cry/p/7987548.html》