数学基础--旋转矩阵的推导

1、简介

旋转矩阵的应用范围比较广,是姿态变换,坐标变换等的基础,由于考虑到IMU的融合需要用到旋转矩阵。因此,本文介绍一下旋转矩阵的推导过程。

2、推导过程

在介绍旋转矩阵之前,先介绍一下两个矩阵相乘的示意图如下图所示:
数学基础--旋转矩阵的推导_第1张图片
旋转矩阵的旋转其实包含两种意思,一是在同一个坐标系下,向量的旋转;二是坐标系的旋转,使得同一向量在不同的坐标系下有不同的坐标。

(1)二维向量旋转

如下图,XY坐标系中,向量OP旋转β角度到了OP’的位置:
数学基础--旋转矩阵的推导_第2张图片
根据三角函数关系,可以列出向量OP与OP’的坐标表示形式,对比上面个两个式子,将第2个式子展开:
数学基础--旋转矩阵的推导_第3张图片
用矩阵形式重新表示为:
数学基础--旋转矩阵的推导_第4张图片
这就是二维旋转的基本形式,中间的矩阵即二维旋转的旋转矩阵,坐标中的某一向量左乘该矩阵后,即得到这个向量旋转β角后的坐标。

(2)三维向量旋转

三维旋转可借助二维旋转来理解,由于三维空间中可以任意轴旋转,为方便分析与使用,只考虑绕X、Y、Z轴的旋转。

  • 绕Z轴旋转:
    参照上面的图,添加一个Z轴,则上面的二维旋转实际上就是绕Z轴的三维旋转。
    数学基础--旋转矩阵的推导_第5张图片
    照搬上面的推导公式,并添加Z坐标的变换关系(实际是没有变),然后改写成矩阵形式,红色方框即为绕Z轴的旋转矩阵。
    数学基础--旋转矩阵的推导_第6张图片
    同理可以得到绕X轴和绕Y轴旋转的旋转矩阵。
  • 绕X轴旋转矩阵
    数学基础--旋转矩阵的推导_第7张图片
  • 绕Y轴旋转矩阵
    数学基础--旋转矩阵的推导_第8张图片

(1)二维坐标系旋转

数学基础--旋转矩阵的推导_第9张图片
数学基础--旋转矩阵的推导_第10张图片
数学基础--旋转矩阵的推导_第11张图片
数学基础--旋转矩阵的推导_第12张图片
三维旋转同上。

参考文章:
《https://zhuanlan.zhihu.com/p/183973440》
《https://www.cnblogs.com/meteoric_cry/p/7987548.html》

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