电子科技大学人工智能期末复习笔记（三）：一阶逻辑

目录

前言

逻辑基础

命题的定义

命题的真值

原子公式

连词和量词

合式公式的真值表

等价关系

永真蕴含式

置换与合一 

消解原理 

鲁滨逊归结原理

总结

例题

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前言

本复习笔记基于李晶晶老师的课堂PPT与复习大纲，供自己期末复习与学弟学妹参考用。

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逻辑基础

命题的定义

断言：一个陈述句称为一个断言(assertion)

命题：具有真假意义的断言

命题的真值

• T：命题的意义为真
• F：命题的意义为假

注意：

• 一个命题不能同时为真和假
• 一个命题可以在某些条件下为真，某些条件下为假

原子公式

原子公式：由谓词符号和若干项组成的谓词演算，是谓词演算基本积木块。

项包括 : 常量符号、变量符号、函数符号等。

定义原子公式为真值或假值就表示了某种 语义 (semantics) 。

若 t 1 , t 2 , …, t n 是项， P 是谓词，则称 P(t 1 ,t 2 ,…,t n ) 为 原子谓词公式（原子公

式） 。

无变量 的原子公式取值确定， 包含变量 的原子公式取值不定。

举例：

“机器人（ ROBOT ）在 1 号房间（ room1 ）内”

 INROOM （ ROBOT ， room1 ）为真

 INROOM （ ROBOT ， room2 ）为假

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连词和量词

• 1. 与、合取（conjunction)：用连词∧把几个公式连接起来而构成的公式。
  • 合取项是合取式的每个组成部分。
  • 例：LIKE(I，MUSIC)∧LIKE(I，PAINTING)
  • （我喜爱音乐和绘画。）
• 2. 或、析取（disjunction）：用连词∨把几个公式连接起来而构成的公式。
  • 析取项是析取式的每个组成部。
  • 例：PLAYS(LILI，BASKETBALL)∨PLAYS(LILI，FOOTBALL)
  • （李力打篮球或踢足球。）
• 3. 蕴涵（Implication）:“→”表示“如果—那么”（IF—THEN）关系，其所构成的公式叫做蕴涵。
• 4. 非（Not）表示否定，¬、～均可表示

• 连词的优先级 ：
• ¬, ∧, ∨ (, ) , →, ↔

合式公式的真值表

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等价关系

等价(Equivalence): 如果两个合式公式，无论如何解释，其真值表都是相同的，那么我们就称此两合式公式是等价的。

注意：（10）说明在一个量化的表达式中的约束变量是一类虚元，它可用任何一个不在表达式中出现过的其他变量符号来代替

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永真蕴含式

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置换与合一 

置换定义：置换是形如{t1 /x1 ,t2 /x2 ,…,tn /xn }的有限集合，其中t1 ,t2 ,…,tn是项；x1 ,x2 ,…,xn 是互不相同的变元；ti /xi 表示用项ti 替换变元xi 。

要求：ti与xi 不能相同，xi 不能循环地出现在另一个ti 中。

例如：{a/x, c/y, f(b)/z} 是一个置换， 但 {g(z)/x, f(x)/z}不是一个置换，原因是x和z之间出现了循环置换现象，若改为{g(a)/x, f(x)/z}即可

设θ={t1 /x1 ,t2 /x2 ,…,tn /xn }是一个置换，F是一个谓词公式， 把公式F中出现的所有xi 换成ti(i=1,2,…,n)，得到一个新的公式G， 称G为F在置换θ 下的例示，记作G=Fθ

置换的合成（了解）

 合一定义：设有公式集F={F1 , F2 ,…,Fn }，若存在一个置换θ，可使 F1θ=F2θ=…=Fnθ， 则称θ是F的一个合一。称F1 ,F2 ,…,Fn是可合一的。

例：

设有公式集F={P(x, y, f(y)), P(a, g(x), z)}，则 λ={a/x, g(a)/y, f(g(a))/z} 是它的一个合一。

一般情况下,一个公式集的合一不惟一。

最一般合一：设σ是谓词公式集F的一个合一，如果对F的任意一个合一θ都存在一个置换λ，使得 θ= σ· λ，则称σ是一个最一 般(或最简单)合一

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消解原理 

 消解 : 对谓词演算公式进行 分解、化简，消去一些符号 , 以求得导出 子

句 ，又称 归结 。

 消解原理 ：

         (1) 一种用于 子句公式集 的重要推理规则

         (2) 子句 是由文字的析取组成的公式

         (3) 一个原子公式、原子公式的否定叫作 文字

注意： 不含任何文字的子句称为 空子句 。

由 子句、空子句 所构成的集合称为 子句集

 消解过程 ：消解规则应用于 母体子句对 , 以便产生导出子句

举例： { E1 ∨ E2 , ～ E2 ∨ E3 } 消解导出 E1 ∨ E3

归结的方法：鲁滨逊归结原理

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鲁滨逊归结原理

核心：两个子句的归结式、

定义1：若P是原子谓词公式，则称P与﹁P为互补文字

定义2：设C1和C2是子句集中的任意两个子句，如果C1中的文字L1与C2中的文字L2互补，那么可从C1和C2中分别消去L1和L2，并将C1和C2中余下的部分按析取关系构成一个新的子句C12，则称这一过程为归结，称C12为C1和C2的归结式，称C1和C2为C12的亲本(父辈)子句

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总结

9步法求取子句集

• (1)消去蕴涵符号
• (2)缩小否定符号的辖域(狄·摩根定律)
• (3)变量标准化(哑元唯一)
• (4)消去存在量词()
• (5)化为前束形
• (6)化为合取范式(∧)
• (7)消去全称量词()
• (8)消去连词符号(∧)
• (9)更换变量名(同一变量名不出现在一个以上子句)

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例题

解：

 

• 由①和⑦，用zhang置换x     ~Pass(zhang, computer)∨~Win(zℎang,prize)   ⑧
• 由③和⑤，用zhang置换u Pass(zhang, v) ⑨
• 由⑧和⑨，用computer置换v ~Win(zhang, prize)   ⑩
• 由⑥和⑩，用zhang置换w ~Lucky（zhang）  （11）
• 由⑤和11可得空子句NIL，所以结论成立，消解树如上图所示。