Homogeneous Coordinates（齐次坐标）

最近在学习计算机视觉，学习过程中遇到了homogeneous coordinates（齐次坐标），觉得很有趣也很神奇，便写个笔记记录一下。先挂上参考的page：

1. Department of Computer Science，Michigan Technological University，CS3621， Introduction to Computing with Geometry Notes
2. “齐次坐标” 百度百科

在介绍“齐次坐标”前我们先来回顾我们熟悉的“笛卡尔坐标系”。

笛卡尔坐标系：
笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates，法语：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐标系和斜坐标系的统称。

相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。

二维坐标系

三维坐标系

在众多的引入齐次坐标系的原因中，有一个重要的原因就是为了描述“无穷远”这个概念。在欧几里得空间中，两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中，平行线总会在远处的某点处相交。如下图的铁轨所示，在远方的地平线处将会相交。在透视学术语中，这个点常常称为灭点（vanishing point)。

铁轨

但是，数学家们已经发现了在“无限远点”的概念能够被解释的条件下，许多几何概念和计算能够被大大地简化。于是聪明的数学家们引进了新的坐标系“齐次坐标系”。

“齐次坐标系”在百度中的解释：
齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。

下面先提供一种理解方式：

首先考虑：
有两个实数a和w，计算a/w的值。在计算过程中我们保持a的值不变，而改变w的值，我们有：当w变大的时候a/w的值变小，当w趋于无穷大的时候，a/w趋于0。当w变小的时候，a/w的值变大，当w趋于0的时候，a/w的值趋于无穷大。因此，“无穷的概念”可以表示为一个数字对(a, w)。

将上述推广到xy坐标系平面，f(X, Y)= 0等价于f(X, Y, 1) = 0，此时X， Y的次数均为1，而1所表示的坐标轴的次数为0，即次数不齐。这时我们可以做这样的变换：f(x/w, y/w, w/w) = 0/w。则我们就从（X, Y, 1）的非齐次坐标系，转换成（x, y, w)的齐次坐标系。

再举个例子：假设有多项式Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0。在把x、y用x/w和y/w替换之后，再乘w2。多项式就转换成Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dxw + 2Eyw + Fw2 = 0。如果你仔细观察每一项，会发现他们的次数都是相同的（x2, xy, y2, xw, yw, w2)。

也就是说，对于一个n次多项式，在引入了w之后，所有项均变成了n次项。变换后的多项式称为齐次多项式。(x, y, w)就称为“齐次坐标系”。

另一种理解方式：

任何一个由n维坐标表示的一个点，可以看做是在他的n+1维空间中丢失了第n+1维。所以前n维的次数都是1，而丢失的n+1维可以认为是次数为0。如(x, y)可以看做是(x, y, 1)。这样显然不是齐次的。而在(x, y, z)坐标系中，三个维度的次数都为1，这种情况下坐标系为齐次的，则为齐次坐标。若是我们把这个坐标每一维都除以z，得到（x, y, 1）又变成了非齐次坐标。

齐次坐标系的作用：

当我们尝试利用（x, y）表示笛卡尔空间的一个2D点时，(∞,∞)是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题。于是数学家引入齐次坐标如（1, 2, 0），就能很好的解决这个问题。

坐标的转换

通过上述讲解我们很容易能得到：
（1，3，1）
（2，6，2）
（3，9，3）
三个齐次坐标的笛卡尔坐标均为：
（1，3）