2022蓝桥杯题解
2022 蓝桥杯
C 求和
题意：
给定数组 a a a ，求 ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n a i a j \sum\limits_{i=1}\limits^n\sum\limits_{j=i+1}\limits^n a_ia_j i=1∑nj=i+1∑naiaj
解析：
∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n a i a j = ∑ i = 1 n a i ( ∑ j = i + 1 n a j ) = ∑ i = 1 n a i ( s u m [ n ] − s u m [ i ) \sum\limits_{i=1}\limits^n\sum\limits_{j=i+1}\limits^n a_ia_j = \sum\limits_{i=1}\limits^na_i(\sum\limits_{j=i+1}\limits^n a_j) = \sum\limits_{i=1}\limits^na_i(sum[n]-sum[i) i=1∑nj=i+1∑naiaj=i=1∑nai(j=i+1∑naj)=i=1∑nai(sum[n]−sum[i)
s u m sum sum 是 a a a 数组的前缀和，预处理前缀和即可
代码：
#includeD 选数异或
题意：
给定数组 a a a 和整数 x x x， m m m 次询问。每次询问 a [ l . . . r ] a[l...r] a[l...r] 中是否存在两个数异或值为 x x x
解析：
对于每个 a i a_i ai，找到左边最近的 a j a_j aj ，满足 a i ⊕ a j = x a_i \oplus a_j = x ai⊕aj=x，即 f [ i ] = j f[i] = j f[i]=j 。然后线段树维护 f f f 的最大值
对于每次询问 ( l , r ) (l,r) (l,r) ，判断 f [ i ] f[i] f[i] 是否大于等于 l l l
代码:
#includeE 爬树的甲壳虫
题意：
高度为 n n n 的树，初始位于高度为 0 0 0 处。当从高度 i − 1 i-1 i−1 爬到 i i i 处时，有 p i p_i pi 的概率掉回高度为 0 0 0 处。询问爬到高度为 n n n 处的时间的期望值
解析：
令 f i f_i fi 为从高度 i i i 爬到树顶的期望时间，则 f i − 1 = p i f 0 + ( 1 − p i ) f i + 1 f_{i-1} = p_if_0+(1-p_i)f_i+1 fi−1=pif0+(1−pi)fi+1 f n = 0 f_n = 0 fn=0，答案为 f 0 f_0 f0
因为 f n = 0 f_n = 0 fn=0 ，可以用 f 0 f_0 f0 和常数表示 f i f_i fi ，即 f i = a i f 0 + b i f_i = a_if_0+b_i fi=aif0+bi代入上式可得： f i − 1 = [ p i + a i ( 1 − p i ) ] f 0 + [ ( 1 − p i ) b i + 1 ] f_{i-1} = [p_i+a_i(1-p_i)]f_0+[(1-p_i)b_i+1] fi−1=[pi+ai(1−pi)]f0+[(1−pi)bi+1] 因此 a i − 1 = p i + a i ( 1 − p i ) a_{i-1} = p_i+a_i(1-p_i) ai−1=pi+ai(1−pi) b i − 1 = ( 1 − p i ) b i + 1 b_{i-1} = (1-p_i)b_i+1 bi−1=(1−pi)bi+1
且 f 0 = a 0 f 0 + b 0 f_0 = a_0f_0+b_0 f0=a0f0+b0，得 f 0 = b 0 1 − a 0 f_0 = \frac{b_0}{1-a_0} f0=1−a0b0
代码：
#includeF 青蛙过河
题意：
河里有高度 h i h_i hi 的石头，每次从石头起跳石头的高度就会下降1。具有跳跃能力 y y y 时，能跳不超过 y y y 的距离。每次上课都需要往返，询问上完 x x x 次课的最小跳跃能力
解析：
二分答案，对于跳跃能力 k k k ，如果每个长度为 k k k 的高度和都大于等于 2 x 2x 2x ，则跳跃能力 k k k 是可行的。
必要性：如果有一个长度为 k k k 的区间高度和小于 2 x 2x 2x，则必须有青蛙不经过这个区间，对跳跃能力 k k k 来说是不可能的。
充分性： 2 x 2x 2x 只青蛙第一次跳之后，所有青蛙分布在 [ 1 , k ] [1,k] [1,k] 中，第二次跳考虑将青蛙分布在 [ 2 , k + 1 ] [2,k+1] [2,k+1] 中。
如果 h 1 ≤ h k + 1 h_1 \le h_{k+1} h1≤hk+1 ：可以将第一块石头上的所有青蛙跳到第 k + 1 k+1 k+1 块
如果 h 1 > h k + 1 h_1 > h_{k+1} h1>hk+1 ：将第一块石头上的部分青蛙跳到第 k + 1 k+1 k+1 块石头，因为 [ 2 , k + 1 ] [2,k+1] [2,k+1] 是可以容纳 2 x 2x 2x 只青蛙的，将第一块石头上的剩余青蛙跳到 [ 2 , y ] [2,y] [2,y] 中未满的石头。
代码：
#includeI 数的拆分
题意：
T T T 次询问，每次询问 a a a 是否能表示成 x 1 y 1 ⋅ x 2 y 2 x_1^{y_1} \cdot x_2^{y_2} x1y1⋅x2y2 的形式。 ( a ≤ 1 0 18 , y 1 , y 2 ≥ 2 ) (a \le 10^{18},\quad y_1,y_2 \ge 2) (a≤1018,y1,y2≥2)
解析：
将 a a a 质因数分解： a = ∏ i = 1 k p i q i a = \prod\limits_{i=1}\limits^{k}p_i^{q_i} a=i=1∏kpiqi 。需要 q i ≥ 2 q_i \ge 2 qi≥2
设 x 1 x_1 x1 中有 k 1 k_1 k1 个 p i p_i pi ， x 2 x_2 x2 中有 k 2 k_2 k2 个 p i p_i pi ，则 k 1 y 1 + k 2 y 2 = q i k_1y_1+k_2y_2 = q_i k1y1+k2y2=qi
容易发现， y 1 = 2 , y 2 = 3 y1 = 2,y_2 = 3 y1=2,y2=3 对所有 q i q_i qi 均有非负整数解。
所以问题转化为 a = x 1 2 x 2 3 a = x_1^2x_2^3 a=x12x23
a = x 1 2 x 2 3 ≤ 1 0 18 a = x_1^2x_2^3 \le 10^{18} a=x12x23≤1018 。如果 p > 4000 p > 4000 p>4000， p 5 > 1 0 18 p^5 > 10^{18} p5>1018，所以只需要暴力分解 4000 4000 4000 之内的质因子即可。对于 p i > 4000 p_i>4000 pi>4000 , q i q_i qi 的取值只能为 2，3，4，只需要判断是否为平方数或者立方数
代码：
#includeJ 推导部分和
题意：
长度为 n n n 的数组 A A A ，给出 m m m 个区间和 ( l , r , s ) (l, r, s) (l,r,s), 即 ∑ i = l r A [ i ] = s \sum\limits_{i=l}\limits^r A[i] = s i=l∑rA[i]=s。 q q q 次询问 ( l , r ) (l, r) (l,r) 的区间和，即 ∑ i = l r A [ i ] \sum\limits_{i=l}\limits^r A[i] i=l∑rA[i]
数据范围： 1 ≤ n , m , q ≤ 1 0 5 ， − 1 0 12 ≤ s ≤ 1 0 12 ， 1 ≤ l ≤ r ≤ n 1 ≤ n, m, q ≤ 10^5，−10^{12} ≤ s ≤ 10^{12}，1 ≤ l ≤ r ≤ n \quad 1≤n,m,q≤105，−1012≤s≤1012，1≤l≤r≤n数据保证没有矛盾
解析：
带权并查集。
对于区间和 ( l , r , s ) (l, r, s) (l,r,s) ，若 l l l 和 r r r 有共同的祖先，不需要合并。如果没有共同的祖先，进行合并操作并更新 v a l val val 值。为了保证连续性，区间为左开右闭即 ( l − 1 , r ] (l-1,r] (l−1,r] 。
查询时，如果 l − 1 l-1 l−1 和 r r r 没有共同祖先，输出 UNKNOWN，否则输出 v a l [ r ] − v a l [ l − 1 ] val[r]-val[l-1] val[r]−val[l−1]
时间复杂度 O ( ( m + q ) l o g n ) O((m+q)logn) O((m+q)logn)
代码：
#include