链式前向星介绍以及原理

1 链式前向星

1.1 简介

链式前向星可用于存储图,本质上是一个静态链表。

一般来说,存储图常见的两种方式为:

  • 邻接矩阵
  • 邻接表

邻接表的实现一般使用数组实现,而链式前向星就是使用链表实现的邻接表。

1.2 出处

出处可参考此处

2 原理

链式前向星有两个核心数组:

  • pre数组:存储的是边的前向链接关系
  • last数组:存储的是某个点最后一次出现的边的下标

感觉云里雾里对吧,可以看看下面的详细解释。

2.1 pre数组

pre数组存储的是一个链式的边的前向关系,下标以及取值如下:

  • pre数组的下标:边的下标
  • pre数组的值:前向边的下标,如果没有前向边,取值-1

这里的前向边是指,如果某个点,作为起始点,已经出现过边x,那么,遍历到以该点作为起始点的下一条边y时,边y的前向边就是边x

更新pre数组的时候,会遍历每一条边,更新该边对应的前向边。

比如,输入的有向边如下:

n=6 // 顶点数
[[0,1],[1,3],[3,5],[2,4],[2,3],[0,5],[0,3],[3,4]] // 边

那么:

  • 对于第一条边,下标为0,那么会更新pre[0]的值,边为0->1,而起始点点0还没有出现过前向边,那么pre[0]=-1。这样就建立了边0->-1的一个链接关系,也就是说,对于起始点点0,它只有边0这一条边
  • 对于第二条边,下标为1,那么会更新pre[1]的值,边为1->3,而起始点点1还没有出现过前向边,那么pre[1]=-1。这样就建立了边1->-1的一个链接关系,也就是说,对于起始点点1,它只有边1这一条边
  • 对于第三条边,下标为2,那么会更新pre[2]的值,边为3->5,而起始点点3还没有出现过前向边,那么pre[2]=-1。这样就建立了边2->-1的一个链接关系,也就是说,对于起始点点3,它只有边2这一条边
  • 对于第四条边,下标为3,那么会更新pre[3]的值,边为2->4,而起始点点2还没有出现过前向边,那么pre[3]=-1。这样就建立了边3->-1的一个链接关系,也就是说,对于起始点点2,它只有边3这一条边
  • 对于第五条边,下标为4,那么会更新pre[4]的值,边为2->3,而起始点点2,已经出现过一条边了,该边的下标是3,也就是前向边为3,那么就会更新pre[4]为前向边的值,也就是pre[4]=3。这样,就建立了边4->3->-1的一个链接关系,也就是对于起始点点2来说,目前有两条边,一条是边4,一条是边3
  • 对于第六条边,下标为5,那么会更新pre[5]的值,边为0->5,而起始点点0,已经出现过一条边了,该边的下标是边0,也就是前向边为0,那么就会更新pre[5]为前向边的值,也就是pre[5]=0。这样,就建立了边5->0->-1的一个链接关系,也就是对于起始点点0来说,目前有两条边,一条是边5,一条是边0
  • 对于第七条边,下标为6,那么会更新pre[6]的值,边为0->3,而起始点点0,已经出现过不止一条边了,最后一次出现的边为边5,也就是前向边为5,那么就会更新pre[6]为前向边的值,也就是pre[6]=5。这样,就建立了边6->5->0->-1的一个链接关系,也就是对于起始点点0来说,已经有三条边了,一条是边6,一条是边5,一条是边0
  • 对于第八条边,下标为7,那么会更新pre[7]的值,边为3->4,而起始点点3,已经出现过一条边了,该边的下标是边2,也就是前向边为2,那么就会更新pre[7]为前向边的值,也就是pre[7]=2。这样,就建立了边7->2->-1的一个链接关系,也就是对于起始点点3来说,目前有两条边,一条是边7,一条是边2

这样,边的链接关系就建立下来了:

点 边的链接关系(边的下标)
0  6->5->0->-1
1  1->-1
2  4->3->-1
3  7->2->-1
4  -1
5  -1

2.2 last数组

last数组存储的是最后一次出现的前向边的下标,下标以及取值如下:

  • last数组的下标:点
  • last数组的值:最后一次出现的前向边的下标

last数组会将所有值初始化为-1,表示所有的点在没有遍历前都是没有前向边的。

使用上面的数据举例:

n=6 // 顶点数
[[0,1],[1,3],[3,5],[2,4],[2,3],[0,5],[0,3],[3,4]] // 边

last数组会与pre数组一起在遍历边的时候更新:

  • 遍历到第一条边:下标为0,边为0->1,那么会更新以0为起始点的前向边的值,也就是自己,last[0]=0。然后,如果下一次遍历到了以0为起始点的边,比如0->5,那么0->5的前向边就是边0,而边0就存储在last[0]中,下次需要的时候直接取last[0]即可
  • 遍历到第二条边:下标为1,边为1->3,那么会更新以1为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[1]=1
  • 遍历到第三条边:下标为2,边为3->5,那么会更新以3为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[3]=2
  • 遍历到第四条边:下标为3,边为2->4,那么会更新以2为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[2]=3
  • 遍历到第五条边:下标为4,边为2->3,那么会更新以2为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[2]=4
  • 遍历到第六条边:下标为5,边为0->5,那么会更新以0为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[0]=5
  • 遍历到第七条边:下标为6,边为0->3,那么会更新以0为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[0]=6
  • 遍历到第八条边:下标为7,边为3->4,那么会更新以3为起始点的最后一次出现的前向边的值,也就是last[3]=7

在遍历每条边的时候,会先从last数组取值并赋给pre去生成链接关系,然后更新last数组中对应起始点的值为当前的边的下标。

3 代码

3.1 生成数组

生成last以及pre数组:

public class Solution {
    private int[] pre;
    private int[] last;

    private void buildGraph(int n, int[][] edge) {
        int edgeCount = edge.length;
        pre = new int[edgeCount];
        last = new int[n];
        Arrays.fill(last, -1);
        for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
            int v0 = edge[i][0];
            pre[i] = last[v0];
            last[v0] = i;
        }
    }
}

pre的范围与边数有关,而last的范围与点数有关。一开始需要初始化last数组为-1,然后遍历每一条边:

  • 遍历边时仅需要知道起始点即可,因为终点可以通过边的下标获取到,不需要存储
  • 遍历时首先更新pre数组为最后一次出现的前向边的下标,也就是对应起始点的last数组的值
  • 最后更新last数组,对应起始点的值更新为当前边的下标

3.2 遍历

public class Solution {
    private int[] pre;
    private int[] last;

    private void visit(int n, int[][] edge) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println("当前顶点:" + i);
            for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {
                System.out.println(edge[lastEdge][0] + "->" + edge[lastEdge][1]);
            }
        }
    }
}

遍历从点开始,首先通过last数组取得最后一条出现的前向边的下标,然后遍历该边,最后通过pre数组更新前向边,也就是对链接关系进行遍历。

3.3 完整测试代码

import java.util.Arrays;

public class Solution {
    private int[] pre;
    private int[] last;

    private void buildGraph(int n, int[][] edge) {
        int edgeCount = edge.length;
        pre = new int[edgeCount];
        last = new int[n];
        Arrays.fill(last, -1);
        for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
            int v0 = edge[i][0];
            pre[i] = last[v0];
            last[v0] = i;
        }
    }

    private void visit(int n, int[][] edge) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println("当前顶点:" + i);
            for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {
                System.out.println(edge[lastEdge][0] + "->" + edge[lastEdge][1]);
            }
        }
    }

    public void build() {
        int n = 6;
        int[][] edge = {{0, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 3}, {0, 5}, {0, 3}, {3, 4}};
        buildGraph(n, edge);
        visit(n, edge);
    }
}

输出:

当前顶点:0
0->3
0->5
0->1
当前顶点:1
1->3
当前顶点:2
2->3
2->4
当前顶点:3
3->4
3->5
当前顶点:4
当前顶点:5

可以看到输出的顺序与edge数组是相反的,比如edge数组中的以0为起始点的边的顺序为0->1,0->5,0->3,而输出顺序为0->3,0->5,0->1,这是因为pre的前向链接关系,生成pre数组的时候,采用的是类似链表中的“头插法”生成。

如果想要和原来的顺序保持一致,可以将edge数组反转再生成prelast数组:

private void buildGraph(int n, int[][] edge) {
    int edgeCount = edge.length;
    int[][] reverseEdge = new int[edgeCount][2];
    for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
        reverseEdge[i] = edge[edgeCount - i - 1];
    }
    pre = new int[edgeCount];
    last = new int[n];
    Arrays.fill(last, -1);
    for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
        int v0 = reverseEdge[i][0];
        pre[i] = last[v0];
        last[v0] = i;
    }
}

然后遍历edge数组的时候也需要反转:

private void visit(int n, int[][] edge) {
    int edgeCount = edge.length;
    int[][] reverseEdge = new int[edgeCount][2];
    for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
        reverseEdge[i] = edge[edgeCount - i - 1];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println("当前顶点:" + i);
        for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {
            System.out.println(reverseEdge[lastEdge][0] + "->" + reverseEdge[lastEdge][1]);
        }
    }
}

测试代码不变:

public void build() {
    int n = 6;
    int[][] edge = {{0, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 3}, {0, 5}, {0, 3}, {3, 4}};
    buildGraph(n, edge);
    visit(n, edge);
}

输出:

当前顶点:0
0->1
0->5
0->3
当前顶点:1
1->3
当前顶点:2
2->4
2->3
当前顶点:3
3->5
3->4
当前顶点:4
当前顶点:5

可以看到输出顺序和edge对应的边的顺序一致了。

4 疑问

4.1 为什么叫pre数组而不是next数组

笔者看到网上的文章很多都是如下三个数组:

  • head[u]数组:表示以u作为起点的第一条边的编号
  • next[cnt]数组:表示编号为cnt的边的下一条边,这条边与cnt同一个起点
  • to[cnt]数组:表示编号为cnt的边的终点

其中to[cnt]数组在本篇文章中没有实现,因为已经有edge数组存储了。

head[u]数组,相当于本篇文章中的last数组,而next[cnt]数组,相当于本篇文章中的pre数组。

那么为什么取不同的名字?

只是笔者认为,从自己的角度出发,这样好比较理解。如果还是觉得难理解,可以到文末的参考链接处看一下其他文章。

4.2 这个东西到底有什么用

链式前向星能做的题目,一般来说邻接表也能做。链式前向星,不是用来帮你AC题目来的,不是说某道题非得用它。它是用来帮助你在AC的基础上,进一步提高效率。链式前向星是一种优化手段,它只是帮助你优化,而不是学习了它,就能AC题目。

5 参考

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