二叉树（二）

前言

本章我们继续了解二叉树。上文我们对树和二叉树有了简单的了解，详见二叉树（一）

这里我要解释一下为什么我们不对树进行增删查改呢？答案是：没有意义。我们更应该把有限的精力用作有意的地方，那么我们今天将对二叉树对有个更深的理解。

二叉树的一般用左孩子右兄弟实现代码：

左孩子右兄弟原理图

树的理解

我们先来复习一下上节的知识，判断树与非树。

这些显然不是。（这些结构可能带环，数据结构为图）

特殊的二叉树

下图在普通人眼里是一个很普通的树，但是在程序员眼中是一个标准的二叉树，而且是满二叉树。

这一幅图就没那么标准了。

接下来我们再来了解二叉树中的特殊情况。

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉

树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对

于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号

从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉

树。

假 设 树 的 高 度 是 h

1 、 前 h 一 1 层 都 是 满 的

2 、 最 后 一 层 不 满 ， 但 是 最 后 一 层 从 左 往 右 都 是 连 续 的

显然我们的实物图就是——满二叉树。

二叉树的性质

我们仔细观察下图：

我们会发现有许多数学性质：

1. 每层都是满的

2. 假设树的高度为h，那么总结点数N为2*h-1

总结点数怎么来的呢？我们可以在百度查一下等比数列求和公式Sn=a1 (1-q^n)

有了公式我们就能很快地求导出总结点数的规律了。

节点数规律

搜索二叉树

之前我们讲过普通的二叉树的增删查改没有意义，但是搜索二叉树却不同。

搜索二叉树

规律：任何一颗树，左子树都比根要小，右子树都比根要大

搜索中查找一个，最多查找高度次数（时间复杂度）：O(N)

最复杂的情况：

一般来说，左右两边的节点数据比较均匀

但是这里就涉及到了，平衡树，AVL树和红黑树

二叉树的性质

这些性质对做题有比较大的帮助。

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2

＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN

练习：

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B200

C198

D199

解析：这里直接199+1，不知道的直接看一下前面的定义。

总结

本节首先回顾了树和二叉树的性质，然后详细了解了特殊二叉树的性质，虽然没有具体到代码，但是我相信对概念的理解比代码本身更加重要，二叉树本身是一个很难理解的概念，一两节课是讲不完的，我们要对学好二叉树下好足够的功夫的准备，不能好高骛远。

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