【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 3956. 截断数组

一、题目

1、原题链接

3956. 截断数组

2、题目描述

给定一个长度为 n 的数组 a1,a2,…,an。

现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。

要求，三个子数组内各元素之和都相等。

请问，共有多少种不同的截断方法？

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数 a1,a2,…,an。

输出格式

输出一个整数，表示截断方法数量。

数据范围

前六个测试点满足 1≤n≤10。所有测试点满足 1≤n≤10⁵，−10000≤ai≤10000。

输入样例1：

4
1 2 3 3

输出样例1：

1

输入样例2：

5
1 2 3 4 5

输出样例2：

0

输入样例3：

2
0 0

输出样例3：

0

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总每日一题b站视频链接
y总yyds

（1）数据范围为10⁵，需要将时间复杂度控制在 O(nlogn) 以内。
（2）首先判断所有元素总和是否能被3整除，如果不能被3整除，说明无法进行分割。如果可以被3整除，说明三个子数组的和均为sum/3。
（3）从前往后依次枚举第二个分割点，同时用num记录其前面有多少个位置的前缀和为sum/3。如果第二个分割点位置的前缀和为sum/3*2，则说明以该位置为第二分割点的分割方式总共有num种。直到遍历完所有第二分割点可能的位置，统计分割方式总数，输出即可。

2、时间复杂度

时间复杂度O(n)

3、代码详解

#include 
using namespace std;
const int N=100010;
typedef long long LL;
int n,a[N],s[N];
LL ans;       //注意ans范围，最多从10^5-1个位置选两个分割点，所以总方案数超出int范围(10^9)，要设置成long long
int main(){
    cin>>n;
    int num=0;       
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        s[i]=s[i-1]+a[i];   //计算前缀和 
    }
    int sum=s[n];
    //如果所有元素之和不是3的倍数，则无法分割成3个总和相等的子数组
    if(sum%3!=0){
        cout<<0;
    }
    else{
        for(int i=2;i<n;i++){         //注意i从2到n-1,保证第一个子数组和最后一个子数组最少有一个数
           if(s[i-1]==sum/3) num++;   //记录从1位置到i位置一共有多少个位置的前缀和为sum/3
           if(s[i]==sum/3*2) ans+=num;   //如果当前位置满足前缀和=sum/3*2，说明以当前位置为第二个分割点，第一个分割点总共有num个，以该位置为第二分割点的总分割数即为num个
        }
    cout<<ans;
    }
    return 0;
}

三、知识风暴

一维前缀和

• 一维前缀和可以快速计算某一个指定区间内的元素和。

1. 给定数组num[1],num[2],num[3],...,num[n]，设s[i]为前i个元素的前缀和,则有s[i]=s[i-1]+num[i](s[0]=0)。
2. 若要求区间[a,b]（第a个数到第b个数的和，包含第a个数和第b个数），则为s[b]-s[a-1]。