隐函数求导例题及解析

隐函数求导

两边同时对x求导

$y=y(x)$是由方程$e^x-e^y+1=\cos (xy)$所确定的函数，求$\frac{dy}{dx}$.

解：
\qquad 两边同时求导得：
$e^x-e^y{y}^{\prime }=-\sin (xy)\times (y+x{y}^{\prime })$

$(x\sin (xy)-e^y)y^{\prime }=-y\sin (xy)-e^x$

$y^{\prime }=\frac{e^x+y\sin (xy)}{e^y-x\sin (xy)}$

\qquad 所以$\frac{dy}{dx}=y^{\prime }=\frac{e^x+y\sin (xy)}{e^y-x\sin (xy)}$

两边取ln再求导

设$y=\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+2x)}{(1+x{)}^3(1-2x)}}$，求$y^{\prime }$

解：
$\ln y=\ln \sqrt{\frac{(1+x^2)(1+2x)}{(1+x{)}^3(1-2x)}}$

$=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+\frac{1}{2}\ln |1+2x|-\frac{3}{2}\ln |1+x|-\frac{1}{2}\ln |1-2x|$

\qquad 两边同时求导得：

$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{x}{1+x^2}+\frac{1}{1+2x}-\frac{3}{2(1+x)}+\frac{1}{1-2x}$

$y^{\prime }=\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+2x)}{(1+x{)}^3(1-2x)}}[\frac{x}{1+x^2}+\frac{1}{1+2x}-\frac{3}{2(1+x)}+\frac{1}{1-2x}]$