Kruskal重构树详解

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Kruskal算法

Kruskal重构树

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在学习重构树之前，我们要先熟悉一下基本的kruskal算法

Kruskal算法

首先给出一张有向图，让我们求最小生成树（用总权值最小的一些边的集合，使得所有点都能互通，很明显n个点会有n-1条边）

kruskal算法思想是先把所有的边按权值大小排序，得到这个样子

然后从小往大依次取边，如果加上这条边和之前的边构成了环，就舍弃这条边，不然就加上，直至取得n-1条边，构成一棵树

例如此图，我们按照权值加完前四条边

在加入第五条边时，我们发现原图出现了环，我们就舍弃这条边

就这样一直加边，直至构成一棵完整的树

这就是kruskal算法的

Kruskal重构树

那么什么又是kruskal重构树呢？

kruskal重构树其实就是把这张图重建成一个二叉树，原图中所有的叶子节点都为原图中的点

其他点都有一个点权w，代表从左集合到右集合的路径，由于重构树是在kruskal的基础上完成的，所以我们必然可以得到一个自下而上点权不降的二叉树

比如我们还用上图距离，建一颗重构树

首先我们合并6，7两个集合，把他们两个连接到一个虚点上，该点权值为他们的边权

（红色代表虚点，白色代表原图的点）

然后我们依次2-8 ， 5-6 

就这样把这颗二叉树建完

最后重构树大概长这样

这棵树有很多独特的性质

就比如我们想知道从节点2到7路径的最大边权是多少，其实就是他们公共祖先这个虚点的点权值

再比如我们想知道从某个点出发，给出一个值，在通过所有边的权值都小于等于这个值时，我们走过多少个点，其实就等于这个点一直往上面找，找到最后一个小于等于这个值的虚点，他的子树的点我们都是可以通过的（因为从上到下点权不上升）

以上这种问题我们都可以通过在重构树上倍增的方式，把时间复杂度压到logn

典型例题有洛谷的P2245 星际导航 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

和去年icpc上海区域赛的H Problem - H - Codeforces

重构树板子：

int n, m;
int k, T, S, D;
struct edge
{
    int a, b, w;
    bool operator <(const edge& ee)const { return w < ee.w; }
}ed[M];
vector e[N];//即为重构树
int d[N];
int p[N];
int a[N];
int down[N];
int fa[N][18]；
int find(int x) {
    return p[x] == x ? p[x] : p[x] = find(p[x]);
}
int kruskal() {
    sort(ed + 1, ed + 1 + m);
    fer(i, 1, 2*n)p[i] = i;
    int cnt = n;
    fer(i, 1, m) {
        int a = find(ed[i].a), b = find(ed[i].b);
        if (a^b){
            d[++cnt]=ed[i].w;
            p[a]=p[b]=cnt;
            e[cnt].push_back(a);
            e[cnt].push_back(b);
        }
    }
    return cnt;
}