线性插值基本原理推导

1. 为什么使用线性插值？

• 在深度学习对图片进行上采样和下采样的时候会应用到线性插值
  

  • 对图片上采样，原始图片(33)范围红色框中的值，会得到(44)框中红色框的值
  • 假设目标图片红框坐标为(i,j),那么在原始图片位置$(i\ast \frac{3}{4},j\ast \frac{3}{4})$,
  • 已知$i=2,j=3$,所以在原始图片位置$(1.5,0.75)$
    • 不是整数，在找原始图片位置时，会自动取整
    • 即，需要使用线性插值，来降低误差

2. 单线性插值

2.1 单线性插值推导

• 如图所示，在$p_0和p_1$中间插入$p$，求p点位置
• 根据斜率公式
  $$\begin{array}{rl}\frac{y-y_0}{x-x_0}& =\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\ y& =y_0+\frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{x_1-x_0}\\ & y=\frac{(x_1-x_0)y_0+(y_1-y_0)(x-x_0)}{x_1-x_0}\\ & y=\frac{x_1{y}_0-x_0{y}_0+x{y}_1-x_0{y}_1-x{y}_0+x_0{y}_0}{x_1-x_0}\\ & y=\frac{(x_1-x)y_0+(x-x_0)y_1}{x_1-x_0}\\ & y=\frac{(x_1-x)}{x_1-x_0}{y}_0+\frac{(x-x_0)}{x_1-x_0}{y}_1\end{array}$$
• 假设y对应的值，就是图像中的像素值p，得到
  $$\begin{array}{r}p=\frac{(x_1-x)}{x_1-x_0}{p}_0+\frac{(x-x_0)}{x_1-x_0}{p}_1\end{array}$$

3.多线性插值

3.1 多线性插值推导注意事项

• 双线性插值是三维的，需要从二维计算出某一个坐标轴的差值才可以
  • 如果按照单线性插值，直接按照三位图，那么求$p_1$
    • 显然不可能会出现$y_1-y_1$这个操作
      $$\begin{array}{rl}\frac{y-y_1}{x-x_2}& =\frac{y_1-y_1}{x_1-x_2}\end{array}$$

3.2 多线性插值推导

• 根据单线性插值公式，得出公式
  • 我们计算像素值，直接将$y$变成$p$即可
    $$\begin{array}{r}y=\frac{(x_1-x)}{x_1-x_0}{y}_0+\frac{(x-x_0)}{x_1-x_0}{y}_1\end{array}$$

• 由单线性插值,对x轴得到【自己转换维度】
  $$\begin{array}{r}{p}_1=\frac{(x_2-x)}{x_2-x_1}{p}_{11}+\frac{(x-x_1)}{x_2-x_1}{p}_{21}\\ p_2=\frac{(x_2-x)}{x_2-x_1}{p}_{12}+\frac{(x-x_1)}{x_2-x_1}{p}_{22}\end{array}$$
• 由单线性插值,对y轴得到
  $$\begin{array}{r}p=\frac{(y_2-y)}{y_2-y_1}{p}_1+\frac{(y-y_1)}{y_2-y_1}{p}_2\end{array}$$
• 将$p_1,p_2$代入化简$p$
  $$\begin{array}{rl}p& =\frac{(y_2-y)}{y_2-y_1}(\frac{(x_2-x)}{x_2-x_1}{p}_{11}+\frac{(x-x_1)}{x_2-x_1}{p}_{21})+\frac{(y-y_1)}{y_2-y_1}(\frac{(x_2-x)}{x_2-x_1}{p}_{12}+\frac{(x-x_1)}{x_2-x_1}{p}_{22})\\ & =\frac{(y_2-y)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{11}+\frac{(y_2-y)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{21}+\frac{(y-y_1)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{12}+\frac{(y-y_1)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{22}\end{array}$$
• 在图像中，相邻像素点坐标差值为1，即
  $$\begin{array}{rl}{x}_2& =x_1+1\\ y_2& =y_1+1\end{array}$$
  
• 将$x_2,y_2$关于$x_1,y_1$的表达式代入p
  $$\begin{array}{rl}p& =\frac{(y_2-y)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{11}+\frac{(y_2-y)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{21}+\frac{(y-y_1)(x_2-x)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{12}+\frac{(y-y_1)(x-x_1)}{(y_2-y_1)(x_2-x_1)}{p}_{22}\\ & =(y_2-y)(x_2-x)p_{11}+(y_2-y)(x-x_1)p_{21}+(y-y_1)(x_2-x)p_{12}+(y-y_1)(x-x_1)p_{22}\end{array}$$

3.3 插入坐标越远权重越大

• 由于p是由$p_1$和$p_2$得到的
  $$\begin{array}{rl}{P}_1& \approx (y_2-y)(x_2-x)p_{11}+(y_2-y)(x-x_1)p_{21}\\ P_2& \approx (y-y_1)(x_2-x)p_{12}+(y-y_1)(x-x_1)p_{22}\end{array}$$
  • 根据$p_1$,都有系数$(y_2-y)$,如果$p_1$向的值比较大，那么$(x_2-x)$的值就要大，所以当插入的点离哪一个坐标远，那个坐标的权重越大【插入值的权重越大】